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順序集合

#順序集合論

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順序集合

順序集合 (英：ordered set) とは、順序的構造が与えられた集合のこと。二項関係に複数の規則を加えることで順序の概念が与えられる。また各規則の有無により次表のように順序的構造が定義される。順序の概念が与えられた二項関係は順序関係 (英：order relation) と呼ばれ、しばしば ≼\preccurlyeq で表される。

順序集合 反射性 推移性 反対称性 比較可能性
前順序集合 ◯ ◯ - -
半順序集合 ◯ ◯ ◯ -
全順序集合 ◯ ◯ ◯ ◯

前順序集合

前順序集合 (英：preordered set) とは、下記の性質を満たす数学的構造 (U,≼)(U,\preccurlyeq) のこと。前順序集合の順序関係を前順序 (英：preorder) と呼ぶ。

(OA1):∀a∈U, a≼a(OA2):∀a,b,c∈U, a≼b∧b≼c⇒a≼c \begin{aligned} \text{(OA1)} &: \forall a \in U, ~ a\preccurlyeq a \cr \text{(OA2)} &: \forall a,b,c \in U, ~ a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq c \rArr a\preccurlyeq c \end{aligned}

半順序集合

半順序集合 (英：partially ordered set) とは、下記の性質を満たす前順序集合 (U,≼)(U,\preccurlyeq) のこと。半順序集合の順序関係を半順序 (英：partially order) と呼ぶ。

(OA3):∀a,b∈U, a≼b∧b≼a⇒a=b \begin{aligned} \text{(OA3)} &: \forall a,b \in U, ~ a\preccurlyeq b \land b\preccurlyeq a \rArr a = b \end{aligned}

全順序集合

全順序集合 (英：totally ordered set) とは、下記の性質を満たす半順序集合 (U,≼)(U,\preccurlyeq) のこと。全順序集合の順序関係を全順序 (英：total order) と呼ぶ。

(OA4):∀a,b∈U, a≼b∨b≼a \begin{aligned} \text{(OA4)} &: \forall a,b\in U, ~ a\preccurlyeq b \lor b\preccurlyeq a \end{aligned}

整列集合

整列集合 (英：well-ordered set) とは、最小元を持つ全順序集合 (U,≼)(U,\preccurlyeq) のこと。このとき整列集合の順序関係を整列順序 (英：well-order) という。

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