有界集合
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有界集合
有界集合 (英：bounded set) とは、半順序集合 $(X,\le)$ の部分集合 $A\sube X$ のこと。ある集合が有界集合であることを有界であるという。
上界と下界
半順序集合 $X$ の部分集合 $A$ が与えられ、$x$ を $X$ の元、$a$ を $A$ の元とする。このとき $x$ が、常に $a$ 以上である場合、「$x$ は $A$ の上界 (英：upper bound) である」という。反対に $x$ が、常に $A$ 以下である場合、「$x$ は $A$ の下界 (英：lower bound) である」という。$A$ の上界の集合を $U(A)$ 、$A$ の下界の集合を $L(A)$ で表す。
\[ \begin{aligned} U(A) &= \lbrace x\in X\mid a\in A,a\le x\rbrace \cr L(A) &= \lbrace x\in X\mid a\in A,x\le a\rbrace \cr \end{aligned} \]
最大元と最小元
半順序集合 $X$ の部分集合 $A$ が与えられ、$x,a$ を $A$ の元とする。このとき常に $x\ge a$ を満たす $x$ を最大元 (英：greatest element) 、常に $x\le a$ を満たす $x$ を最小元 (英：smallest element) という。$A$ の最大元を $\max A$ 、$A$ の最小元を $\min A$ で表す。
\[ \begin{aligned} \max A = x \lrArr \forall a,\exists x\in A~(x\ge a) \cr \min A = x \lrArr \forall a,\exists x\in A~(x\le a) \cr \end{aligned} \]
上限と下限
半順序集合の部分集合 $A$ が与えられたとき、$A$ の上界の集合の最小元を上限 (英：supremum) 、$A$ の下界の集合の最大元を下限 (英：infimum) という。$A$ の上限を $\sup A$ 、$A$ の下限を $\inf A$ で表す。
\[ \begin{aligned} \sup A &= \min(U(A)) \cr \inf A &= \max(L(A)) \end{aligned} \]
極大元と極小元
半順序集合 $X$ の部分集合 $A$ が与えられ、$x,a$ を $A$ の元とする。このとき $x\lt a$ を満たす $a$ がなければ $x$ を極大元 (英：maximal element)、$x\gt a$ を満たす $a$ がなければ $x$ を極小元 (英：minimal element) という。
\[ \begin{aligned} x\text{ is a maximal element} \lrArr \forall a,\exists x\in A~(x\not\lt a) \cr x\text{ is a minimal element} \lrArr \forall a,\exists x\in A~(x\not\gt a) \cr \end{aligned} \]