階乗冪

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階乗冪 (英：factorial power) とは、階乗を一般化したもので、交差の絶対値が $1$ の等差数列の総乗のこと。

初項が $x$ で交差が $1$ の階乗冪を、上昇階乗 (英：rising factorial) という。

\[ x^{\overline{n}} := \begin{cases} 1 & (n=0) \cr \prod_{k=0}^{n-1} (x+k) & (n\gt 0) \end{cases} \quad (n\in\N_{\ge 0}) \]

初項が $x$ で交差が $-1$ の階乗冪を、下降階乗 (英：falling factorial) という。

\[ x^{\underline{n}} := \begin{cases} 1 & (n=0) \cr \prod_{k=0}^{n-1} (x-k) & (n\gt 0) \end{cases} \quad (n\in\N_{\ge 0}) \]

階乗との関係

階乗は、初項と項数が等しい下降階乗、あるいは初項を $1$ とした上昇階乗と等しい。

\[ n! = n^{\underline{n}} = 1^{\overline{n}} \]

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