近傍系
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近傍系
全体集合 $X$ の元 $x$ に対し、以下の公理を満たす部分集合系 $\mathfrak U(x)$ を $x$ の近傍系 (英：neighborhood system) といい、$\mathfrak U(x)$ の元 $U$ を近傍 (英：neighborhood system) という。これらの公理は近傍系の公理と呼ばれる。
\[ \begin{aligned} \text{(N1)} &: \mathfrak U(x)\ne\empty \cr \text{(N2)} &: \forall U(U\in\mathfrak U(x)\rArr x\in U) \cr \text{(N3)} &: \forall U,V(U,V\in\mathfrak U(x)\rArr U\cap V\in\mathfrak U(x)) \cr \text{(N4)} &: \forall U,V(U\in\mathfrak U(x)\land U\sube V\rArr V\in\mathfrak U(x)) \cr \text{(N5)} &: \forall U\in\mathfrak U(x),\exists W\in\mathfrak U(x),\forall y\in W(U\in\mathfrak U(y)) \end{aligned} \]
- $\text{(N1)}$ ：全体集合 $X$ の元 $x$ の近傍系 $\mathfrak U(x)$ は空集合 $\empty$ ではない。
- $\text{(N2)}$ ：任意の $U$ が $\mathfrak U(x)$ の元ならば、$U$ は $x$ を含む。
- $\text{(N3)}$ ：任意の $U,V$ が $\mathfrak U(x)$ の元ならば、$\mathfrak U(x)$ は$U,V$ の合併集合を含む。
- $\text{(N4)}$ ：任意の $U,V$ において、$U$ が $\mathfrak U(x)$ の元かつ、$U$ が $V$ の部分集合ならば、$V$ は $\mathfrak U(x)$ の元である。
- $\text{(N5)}$ ：任意の $U\in\mathfrak U(x)$ に対し、$W\in\mathfrak U(x)$ が存在して、任意の元 $y\in W $ に対し、$U\in\mathfrak U(y)$ となる。
基本近傍系
全体集合 $X$ の元 $x$ の近傍 $U\in\mathfrak U(x)$ に対し、$U^* \sub U,\mathfrak U^* (x)\sube\mathfrak U(x)$ となる近傍 $U^* \sube\mathfrak U^* (x)$ が存在するとき、$\mathfrak U^*(x)$ を基本近傍系 (英：fundamental system of neighborhoods) という。
\[ \forall U\in\mathfrak U(x),\exists U^*\in\mathfrak U^*(x)(U^*\sube U,\mathfrak U^*(x)\sube\mathfrak U(x)) \]
開近傍
位相空間 $(X,\mathcal O)$ において、点 $x\in X$ を含む開集合 $O\in\mathfrak U(x)$ を $x$ の開近傍 (英：open neighborhood) という。
内部
位相空間 $(X,\mathcal O)$ の空間 $X$ の部分集合 $A$ に対し、開集合 $O\in\mathcal O$ が $A$ の新部分集合となるとき、その開近傍の合併集合を $A$ の内部 (英：interior) あるいは開核 (英：open kernel) という。またこのとき $A$ の内部の元を内点 (英：interior point) という。
\[ \mathrm{Int} A := \bigcup_{O\sub A}O \quad (O\in\mathcal O) \]
外部
位相空間 $(X,\mathcal O)$ の空間 $X$ の部分集合 $A$ の補集合 $A^\complement$ に対し、開集合 $O\in\mathcal O$ が $A^\complement$ の新部分集合となるとき、その開近傍の合併集合を $A$ の外部 (英：exterior) という。またこのとき $A$ の外部の元を外点 (英：exterior point) という。
\[ \begin{aligned} \mathrm{Ext} A &:= \bigcup_{O\sub A^\complement}O \quad (O\in\mathcal O) \cr &:= \mathrm{Int}A^{\complement} \end{aligned} \]
境界
位相空間 $(X,\mathcal O)$ の空間 $X$ の部分集合 $A$ に対し、点 $x\in X$ が $A$ の内点でも外点でもないとき、$x$ を $A$ の境界点 (英：frontier point)、境界点 $x$ 全体の集合を $A$ の境界 (英：frontier) という。
\[ \mathrm{Fr} A := X\setminus(\mathrm{Int} A\sqcup\mathrm{Ext} A) \]
閉包
位相空間 $(X,\mathcal O)$ の空間 $X$ の部分集合 $A$ において、$A$ の閉包 (英：closure) とは次式を満たす集合のこと。$A$ の閉包 $\overline{A}$ に属する点 $x\in X$ を $A$ の触点 (英：adherent point) という。
\[ \overline{A} := \mathrm{Int}A\sqcup\mathrm{Fr} A \]
また $A$ の閉包が $X$ に等しいとき、$A$ は $X$ において稠密 (英：dense) であるという。
集積点
位相空間 $(X,\mathcal O)$ の空間 $X$ の部分集合 $A$ に対し、点 $x\in X$ の開近傍 $O\in\mathfrak U(x)$ と $A$ の共通部分に $x$ 以外が含まれているとき、 $x$ を $A$ の集積点 (英：limit point) という。
\[ O\cap (A\setminus\lbrace x\rbrace)\ne\empty \quad (O\in\mathfrak{U}(x)) \]
孤立点
位相空間 $(X,\mathcal O)$ の空間 $X$ の部分集合 $A$ に対し、点 $x\in X$ の任意の開近傍 $O\in\mathfrak U(x)$ で、$A$ の共通部分に $x$ 以外なにも含まれていないとき $x$ を $A$ の孤立点 (英：isolated point) という。
\[ O\cap (A\setminus\lbrace x\rbrace)=\empty \quad (O\in\mathfrak{U}(x)) \]
離散空間
位相空間 $(X,\mathcal O)$ の空間 $X$ の部分集合 $A$ に対し、開近傍の族が冪集合 $\mathfrak P(X)$ と等しいとき、$\mathfrak P$ により定められる数学的構造を離散位相 (英：discrete topology)、空間 $X$ と $\mathfrak P(X)$ の組 $(X,\mathfrak P(X))$ を離散空間 (英：discrete space) という。
密着空間
密着空間 (英：indiscrete space) とは、空集合 $\empty$・全体集合 $X$ 以外の開集合がない位相空間 $(X,\lbrace\empty,X\rbrace)$ のこと。