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近傍系

近傍系

全体集合 XX の元 xx に対し、以下の公理を満たす部分集合系 U(x)\mathfrak U(x)xx近傍系 (英:neighborhood system) といい、U(x)\mathfrak U(x) の元 UU近傍 (英:neighborhood system) という。これらの公理は近傍系の公理と呼ばれる。

(N1):U(x)(N2):U(UU(x)xU)(N3):U,V(U,VU(x)UVU(x))(N4):U,V(UU(x)UVVU(x))(N5):UU(x),WU(x),yW(UU(y)) \begin{aligned} \text{(N1)} &: \mathfrak U(x)\ne\empty \cr \text{(N2)} &: \forall U(U\in\mathfrak U(x)\rArr x\in U) \cr \text{(N3)} &: \forall U,V(U,V\in\mathfrak U(x)\rArr U\cap V\in\mathfrak U(x)) \cr \text{(N4)} &: \forall U,V(U\in\mathfrak U(x)\land U\sube V\rArr V\in\mathfrak U(x)) \cr \text{(N5)} &: \forall U\in\mathfrak U(x),\exists W\in\mathfrak U(x),\forall y\in W(U\in\mathfrak U(y)) \end{aligned}

基本近傍系

全体集合 XX の元 xx の近傍 UU(x)U\in\mathfrak U(x) に対し、UU,U(x)U(x)U^* \sub U,\mathfrak U^* (x)\sube\mathfrak U(x) となる近傍 UU(x)U^* \sube\mathfrak U^* (x) が存在するとき、U(x)\mathfrak U^*(x)基本近傍系 (英:fundamental system of neighborhoods) という。

UU(x),UU(x)(UU,U(x)U(x)) \forall U\in\mathfrak U(x),\exists U^*\in\mathfrak U^*(x)(U^*\sube U,\mathfrak U^*(x)\sube\mathfrak U(x))

開近傍

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) において、点 xXx\in X を含む開集合 OU(x)O\in\mathfrak U(x)xx開近傍 (英:open neighborhood) という。

内部

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) の空間 XX の部分集合 AA に対し、開集合 OOO\in\mathcal OAA の新部分集合となるとき、その開近傍の合併集合を AA内部 (英:interior) あるいは開核 (英:open kernel) という。またこのとき AA の内部の元を内点 (英:interior point) という。

IntA:=OAO(OO) \mathrm{Int} A := \bigcup_{O\sub A}O \quad (O\in\mathcal O)

外部

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) の空間 XX の部分集合 AA の補集合 AA^\complement に対し、開集合 OOO\in\mathcal OAA^\complement の新部分集合となるとき、その開近傍の合併集合を AA外部 (英:exterior) という。またこのとき AA の外部の元を外点 (英:exterior point) という。

ExtA:=OAO(OO):=IntA \begin{aligned} \mathrm{Ext} A &:= \bigcup_{O\sub A^\complement}O \quad (O\in\mathcal O) \cr &:= \mathrm{Int}A^{\complement} \end{aligned}

境界

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) の空間 XX の部分集合 AA に対し、点 xXx\in XAA の内点でも外点でもないとき、xxAA境界点 (英:frontier point)、境界点 xx 全体の集合を AA境界 (英:frontier) という。

FrA:=X(IntAExtA) \mathrm{Fr} A := X\setminus(\mathrm{Int} A\sqcup\mathrm{Ext} A)

閉包

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) の空間 XX の部分集合 AA において、AA閉包 (英:closure) とは次式を満たす集合のこと。AA の閉包 A\overline{A} に属する点 xXx\in XAA触点 (英:adherent point) という。

A:=IntAFrA \overline{A} := \mathrm{Int}A\sqcup\mathrm{Fr} A

また AA の閉包が XX に等しいとき、AAXX において稠密 (英:dense) であるという。

集積点

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) の空間 XX の部分集合 AA に対し、点 xXx\in X の開近傍 OU(x)O\in\mathfrak U(x)AA の共通部分に xx 以外が含まれているとき、 xxAA集積点 (英:limit point) という。

O(A{x})(OU(x)) O\cap (A\setminus\lbrace x\rbrace)\ne\empty \quad (O\in\mathfrak{U}(x))

孤立点

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) の空間 XX の部分集合 AA に対し、点 xXx\in X の任意の開近傍 OU(x)O\in\mathfrak U(x) で、AA の共通部分に xx 以外なにも含まれていないとき xxAA孤立点 (英:isolated point) という。

O(A{x})=(OU(x)) O\cap (A\setminus\lbrace x\rbrace)=\empty \quad (O\in\mathfrak{U}(x))

離散空間

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) の空間 XX の部分集合 AA に対し、開近傍の族が冪集合 P(X)\mathfrak P(X) と等しいとき、P\mathfrak P により定められる数学的構造を離散位相 (英:discrete topology)、空間 XXP(X)\mathfrak P(X) の組 (X,P(X))(X,\mathfrak P(X))離散空間 (英:discrete space) という。

密着空間

密着空間 (英:indiscrete space) とは、空集合 \empty・全体集合 XX 以外の開集合がない位相空間 (X,{,X})(X,\lbrace\empty,X\rbrace) のこと。

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参考文献

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