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負の二項分布

負の二項分布

負の二項分布 (英:nagative binomial distribution) とは、互いに独立で同一なベルヌーイ試行を複数回行い、初めて rr 回成功するまでの失敗回数の確率変数 XX が従う離散確率分布のこと。

XNB(r,p) X\sim\mathrm{NB}(r,p)

確率質量関数

fX(k;r,p)=(k+r1k)pr(1p)k(kN0) f_X(k; r,p) = \binom {k+r-1} k p^r(1-p)^k \quad (k\in\N_{\ge 0})

確率質量関数の導出:

k+rk+r 回目の試行にて、初めて成功回数が rr 回目となることから、k+r1k+r-1 回目の時点で成功回数は r1r-1 、失敗回数は kk である。よって確率質量関数は、

fX(k;r,p)=(k+r1r1)pr1(1p)kp=(k+r1k)pr(1p)kfX(k;r,p)=(k+r1k)pr(1p)k \begin{aligned} f_X(k;r,p) &= \binom {k+r-1} {r-1}p^{r-1}(1-p)^k p \cr &= \binom {k+r-1} k p^r(1-p)^k \cr \cr \therefore f_X(k;r,p) &= \binom {k+r-1} k p^r(1-p)^k \cr \end{aligned}

確率質量関数のグラフ:

pmf

Python 3

from scipy.stats import nbinom
import matplotlib.pyplot as plt

cases = [
    (1, .5), # r, p
    (2, .5),
    (4, .5),
]

plt.figure()
for r,p in cases:
    x = range(10)
    dist = nbinom.pmf(x,r,p)
    plt.plot(x, dist, label="r={}, p={}".format(r,p))

plt.title("PMF of negative binomial distribution")
plt.xlabel("Number of failures".format(n))
plt.ylabel("Probability".format(n))
plt.legend()
plt.show()

累積分布関数

FX(x;r,p)=k=0x(k+r1k)pr(1p)k F_X(x; r,p) = \sum_{k=0}^x\binom {k+r-1} {k}p^r(1-p)^k

累積分布関数のグラフ:

cdf

Python 3

from scipy.stats import nbinom
import matplotlib.pyplot as plt

cases = [
    (1, .5), # r, p
    (2, .5),
    (4, .5),
]

plt.figure()
for r,p in cases:
    x = range(10)
    dist = nbinom.cdf(x,r,p)
    plt.plot(x, dist, label="r={}, p={}".format(r,p))

plt.title("CDF of negative binomial distribution")
plt.xlabel("Number of failures".format(n))
plt.ylabel("Probability".format(n))
plt.legend()
plt.show()

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