負の二項分布
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負の二項分布
負の二項分布 (英：nagative binomial distribution) とは、互いに独立で同一なベルヌーイ試行を複数回行い、初めて $r$ 回成功するまでの失敗回数の確率変数 $X$ が従う離散確率分布のこと。
\[ X\sim\mathrm{NB}(r,p) \]
確率質量関数
\[ f_X(k; r,p) = \binom {k+r-1} k p^r(1-p)^k \quad (k\in\N_{\ge 0}) \]
確率質量関数の導出：
$k+r$ 回目の試行にて、初めて成功回数が $r$ 回目となることから、$k+r-1$ 回目の時点で成功回数は $r-1$ 、失敗回数は $k$ である。よって確率質量関数は、
\[ \begin{aligned} f_X(k;r,p) &= \binom {k+r-1} {r-1}p^{r-1}(1-p)^k p \cr &= \binom {k+r-1} k p^r(1-p)^k \cr \cr \therefore f_X(k;r,p) &= \binom {k+r-1} k p^r(1-p)^k \cr \end{aligned} \]
確率質量関数のグラフ：
Python 3
from scipy.stats import nbinom
import matplotlib.pyplot as plt
cases = [
(1, .5), # r, p
(2, .5),
(4, .5),
]
plt.figure()
for r,p in cases:
x = range(10)
dist = nbinom.pmf(x,r,p)
plt.plot(x, dist, label="r={}, p={}".format(r,p))
plt.title("PMF of negative binomial distribution")
plt.xlabel("Number of failures".format(n))
plt.ylabel("Probability".format(n))
plt.legend()
plt.show()
累積分布関数
\[ F_X(x; r,p) = \sum_{k=0}^x\binom {k+r-1} {k}p^r(1-p)^k \]
累積分布関数のグラフ：
Python 3
from scipy.stats import nbinom
import matplotlib.pyplot as plt
cases = [
(1, .5), # r, p
(2, .5),
(4, .5),
]
plt.figure()
for r,p in cases:
x = range(10)
dist = nbinom.cdf(x,r,p)
plt.plot(x, dist, label="r={}, p={}".format(r,p))
plt.title("CDF of negative binomial distribution")
plt.xlabel("Number of failures".format(n))
plt.ylabel("Probability".format(n))
plt.legend()
plt.show()