行列とは

行列 (英：matrix) とは、二つの添字集合から添字付けられた集合族のこと。基数が $m,n$ である添字集合から添字付けられた行列を次式のように表す。

$\def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \b A^{m\times n} = \lbrace A_\lambda\rbrace_{\lambda\in M\times N} \quad (|M|=m,|N|=n) \\ \end{gathered}$

行列は、要素を強調し、以下のようにも表される。

$\def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \b A^{m\times n} &= (A_{i,j}) \vphantom{\int} \\ &= \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & \cdots & A_{m,n} \\ \end{bmatrix} \\ \end{aligned}$

また行列 $A^{m\times n}$ における $i$-行のベクトル、$j$-列のベクトルを表したい場合は、以下のように記述する。

$\begin{aligned} i\text{-行のベクトル} &: A_{i,:} = \begin{bmatrix} A_{i,1} \\ A_{i:2} \\ \vdots \\ A_{i:n} \\ \end{bmatrix}^\top \\ j\text{-列のベクトル} &: A_{:,j} = \begin{bmatrix} A_{1,j} \\ A_{2,j} \\ \vdots \\ A_{m,j} \end{bmatrix} \end{aligned}$

零行列

零行列 (英：zero matrix) とは、行列の成分が全て $0$ の行列のこと。

$\begin{gathered} \boldsymbol O^{m\times n} = (O_{i,j}) \quad (O_{i,j}=0) \end{gathered}$

対角成分

対角成分 (英：diagonal element) とは、行列の左上から左下に並ぶ $(i,i)$ 成分のこと。

正方行列

正方行列 (英：square matrix) とは、行成分の数と列成分の数が一致する行列こと。$n\times n$ 行列のことを $n$-次正方行列 (英：n-th square matrix) という。

$\begin{gathered} A^{n\times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \end{gathered}$

行列の相等

行数・列数が共に等しい二つの行列 $\boldsymbol A^{m\times n},\boldsymbol B^{m\times n}$ が与えられたとき、$\boldsymbol A^{m\times n},\boldsymbol B^{m\times n}$ の $(i,j)$-成分が全て互いに等しいとき、$\boldsymbol A^{m\times n},\boldsymbol B^{m\times n}$ は等しい。

$\def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \b A^{m\times n} = \b B^{m\times n} \lrArr \bigwedge_{i=1}^m\bigwedge_{j=1}^n(A_{i,j}=B_{i,j}) \\ \end{gathered}$

行列の演算

行列同士の加減算：

$\def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \b A^{m\times n} \pm \b B^{m\times n} &= \b C^{m\times n} \vphantom{\int} \\ &= \begin{bmatrix} A_{1,1} \pm B_{1,1} & \cdots & A_{1,n} \pm B_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} \pm B_{m,1} & \cdots & A_{m,n} \pm B_{m,n} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}$

行列同士の内積：

$\def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \b A^{\ell\times m}\cdot \b B^{m\times n} &= \b C^{\ell\times n} \vphantom{\int} \\ &= \begin{bmatrix} \sum_{j=1}^m A_{1,j}B_{j,1} & \cdots & \sum_{j=1}^m A_{1,j}B_{j,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{j=1}^m A_{\ell,j}B_{j,1} & \cdots & \sum_{j=1}^m A_{\ell,j}B_{j,n} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lang A_{1,:},B_{:,1} \rang & \cdots & \lang A_{1,:},B_{:,n} \rang \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lang A_{\ell,:},B_{:,1} \rang & \cdots & \lang A_{\ell,:},B_{:,n} \rang \\ \end{bmatrix} \\ \end{aligned}$

行列のスカラー倍：

$\def\b{\boldsymbol} k\boldsymbol A^{m\times n} = \begin{bmatrix} kA_{1,1} & \cdots & kA_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ kA_{m,1} & \cdots & kA_{m,n} \\ \end{bmatrix}$

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