置換積分
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置換積分とは
置換積分 (英：integration by substitution) とは、連鎖律を用いた積分の計算手法のこと。
不定積分の置換積分
\[ \int f(x)~dx = \int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \quad (x=g(t)) \]
不定積分の置換積分の導出：
\[ \begin{aligned} F(x) &= \int f(x)~dx + C \\ \\ f(x) &= \frac{dF(x)}{dx} \\ &= \frac{dF(g(t))}{dg(t)}\cdot\frac{dg(t)}{dt} \quad (x=g(t)) \\ &= f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) \\ \\ \therefore \int f(x)~dx &= \int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \end{aligned} \]
定積分の置換積分
\[ \int_{a}^{b}f(x)~dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \quad (x=g(t)) \]
定積分の置換積分の導出：
$x=g(t)$ により、$[a,b]$ の置換積分後の積分区間を $[\alpha,\beta]$ とすると、
\[ \begin{aligned} a &= g(\alpha)\rArr\alpha=g^{-1}(a) \\ b &= g(\beta)\rArr\beta=g^{-1}(b) \\ \end{aligned} \]
よって、
\[ \begin{aligned} \int_{a}^{b}f(x)~dx &= \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \\ &= \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \\ \\ \therefore \int_{a}^{b}f(x)~dx &= \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \end{aligned} \]