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置換積分

#微分積分学

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置換積分とは

置換積分 (英：integration by substitution) とは、連鎖律を用いた積分の計算手法のこと。

不定積分の置換積分

∫f(x) dx=∫f(g(t))ddtg(t) dt(x=g(t)) \int f(x)~dx = \int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \quad (x=g(t))


不定積分の置換積分の導出：

F(x)=∫f(x) dx+Cf(x)=dF(x)dx=dF(g(t))dg(t)⋅dg(t)dt(x=g(t))=f(g(t))ddtg(t)∴∫f(x) dx=∫f(g(t))ddtg(t) dt \begin{aligned} F(x) &= \int f(x)~dx + C \\ \\ f(x) &= \frac{dF(x)}{dx} \\ &= \frac{dF(g(t))}{dg(t)}\cdot\frac{dg(t)}{dt} \quad (x=g(t)) \\ &= f(g(t))\frac{d}{dt}g(t) \\ \\ \therefore \int f(x)~dx &= \int f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \end{aligned}

定積分の置換積分

∫abf(x) dx=∫g−1(a)g−1(b)f(g(t))ddtg(t) dt(x=g(t)) \int_{a}^{b}f(x)~dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \quad (x=g(t))


定積分の置換積分の導出：

x=g(t)x=g(t) により、[a,b][a,b] の置換積分後の積分区間を [α,β][\alpha,\beta] とすると、

a=g(α)⇒α=g−1(a)b=g(β)⇒β=g−1(b) \begin{aligned} a &= g(\alpha)\rArr\alpha=g^{-1}(a) \\ b &= g(\beta)\rArr\beta=g^{-1}(b) \\ \end{aligned}

よって、

∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))ddtg(t) dt=∫g−1(a)g−1(b)f(g(t))ddtg(t) dt∴∫abf(x) dx=∫g−1(a)g−1(b)f(g(t))ddtg(t) dt \begin{aligned} \int_{a}^{b}f(x)~dx &= \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \\ &= \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \\ \\ \therefore \int_{a}^{b}f(x)~dx &= \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))\frac{d}{dt}g(t)~dt \end{aligned}

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