微分積分学の基本定理
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呼称
- 微分積分学の基本定理、微分積分法の基本定理 (fundamental theorem of calculus)
概要
微分積分学の基本定理とは、「微分と積分が交互に逆の操作・演算である」と主張する解析学の定理である。ここでの積分は、リーマン積分を指す。
定理
$f$ を区間 $I=[a,b]\subset\R$ 上の実数値連続函数とする。
- $f$ の $I$ 上の不定積分は、$I$ の $f$ の原始関数である。
- $I$ 上の $f$ の任意の原始関数 $G$ は、任意の $f$ の不定積分 $F$ に対して $G(x)=F(x)+C~(x\in I)$ を満たす定数 $C\in\R$ が存在する。
- $G$ を $I$ 上の任意の原始関数とすると、$\displaystyle\int_a^b{f(t)dt}=G(b)-G(a)$ が成り立つ。
証明
1. の証明：
不定積分の定義により、
\[ F(x) = \int_a^x{f(t)dt} \]
とすると、$F(x)$ の導関数 $F^\prime(x)$ は、
\[ \begin{aligned} F^\prime(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h}f(t)dt-\int_a^x f(t)dt\right] \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt \cr &= f(x) \end{aligned} \]
よって、区間 $I=[a,b]$ 上 $F(x)$ は $f(x)$ の原始関数である。
2. の証明：
$G(x)$ は $f(x)$ の原始関数であるため、定義により $G^\prime(x)=f(x)$ である。また $F(x)$ は $f(x)$ の不定積分であるため、
\[ \begin{aligned} G^\prime(x) &= F^\prime(x) \cr G^\prime(x) - F^\prime(x) &= 0 \cr \left[G(x)-F(x)\right]^\prime &= C^\prime \cr G(x)-F(x) &= C \cr G(x) &= F(x) + C \end{aligned} \]
よって、$G(x) = F(x) + C$ を満たす定数 $C$ が存在する。
3. の証明：
\[ \begin{aligned} \int_a^b f(t)dt &= \int_a^b f(t)dt - \int_a^a f(t)dt \cr &= F(b) - F(a) \cr &= [F(b)+C]-[F(a)+C] \cr &= G(b) - G(a) \cr \cr \therefore \int_a^b f(t)dt &= G(b) - G(a) \end{aligned} \]