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微分積分学の基本定理

#解析学

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呼称

概要

微分積分学の基本定理とは、「微分と積分が交互に逆の操作・演算である」と主張する解析学の定理である。ここでの積分は、リーマン積分を指す。

定理

ff を区間 I=[a,b]⊂RI=[a,b]\subset\R 上の実数値連続函数とする。

  1. ff の II 上の不定積分は、II の ff の原始関数である。
  2. II 上の ff の任意の原始関数 GG は、任意の ff の不定積分 FF に対して G(x)=F(x)+C (x∈I)G(x)=F(x)+C~(x\in I) を満たす定数 C∈RC\in\R が存在する。
  3. GG を II 上の任意の原始関数とすると、∫abf(t)dt=G(b)−G(a)\displaystyle\int_a^b{f(t)dt}=G(b)-G(a) が成り立つ。

証明

1. の証明：

不定積分の定義により、

F(x)=∫axf(t)dt F(x) = \int_a^x{f(t)dt}

とすると、F(x)F(x) の導関数 F′(x)F^\prime(x) は、

F′(x)=lim⁡h→0F(x+h)−F(x)h=lim⁡h→01h[∫ax+hf(t)dt−∫axf(t)dt]=lim⁡h→01h∫xx+hf(t)dt=f(x) \begin{aligned} F^\prime(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h}f(t)dt-\int_a^x f(t)dt\right] \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt \cr &= f(x) \end{aligned}

よって、区間 I=[a,b]I=[a,b] 上 F(x)F(x) は f(x)f(x) の原始関数である。

2. の証明：

G(x)G(x) は f(x)f(x) の原始関数であるため、定義により G′(x)=f(x)G^\prime(x)=f(x) である。また F(x)F(x) は f(x)f(x) の不定積分であるため、

G′(x)=F′(x)G′(x)−F′(x)=0[G(x)−F(x)]′=C′G(x)−F(x)=CG(x)=F(x)+C \begin{aligned} G^\prime(x) &= F^\prime(x) \cr G^\prime(x) - F^\prime(x) &= 0 \cr \left[G(x)-F(x)\right]^\prime &= C^\prime \cr G(x)-F(x) &= C \cr G(x) &= F(x) + C \end{aligned}

よって、G(x)=F(x)+CG(x) = F(x) + C を満たす定数 CC が存在する。

3. の証明：

∫abf(t)dt=∫abf(t)dt−∫aaf(t)dt=F(b)−F(a)=[F(b)+C]−[F(a)+C]=G(b)−G(a)∴∫abf(t)dt=G(b)−G(a) \begin{aligned} \int_a^b f(t)dt &= \int_a^b f(t)dt - \int_a^a f(t)dt \cr &= F(b) - F(a) \cr &= [F(b)+C]-[F(a)+C] \cr &= G(b) - G(a) \cr \cr \therefore \int_a^b f(t)dt &= G(b) - G(a) \end{aligned}

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