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線型写像

#線型代数学

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線型写像

同じ係数体 KK 上の二つのベクトル空間 X,YX,Y において、写像 f:X→Yf:X\to Y が以下の性質を満たすとき、ff を KK 上の線型写像 (英：linear map) という。線型写像は KK 上の加法において準同型である。

(L1):f(x+y)=f(x)+f(y)(L2):f(cx)=cf(x) \def\v{\boldsymbol} \begin{aligned} \text{(L1)} &: f(\v x+\v y) = f(\v x) + f(\v y) \cr \text{(L2)} &: f(c\v x) = cf(\v x) \end{aligned}

これら二つの性質を合わせて線型性 (英：linearity) と呼ばれ、次式のような形で性質を表すこともある。また線型性を満たすための条件は重ね合わせの原理 (英：superposition principle) とも呼ばれる。

f(cx+y)=cf(x)+f(y) \def\b{\boldsymbol} f(c\b{x}+\b{y}) = cf(\b{x}) + f(\b{y})

また線型写像 ff が自己準同型写像である場合、線型写像と区別して ff を線型変換 (英：linear transformation) と呼ぶ。

像と核

image-kernel

線型写像 f:V→Wf:V\to W において、

Im(f)={f(v)∈W∣v∈V}Ker(f)={v∈V∣f(v)=0} \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \mathrm{Im}(f) &= \lbrace f(\b{v})\in W\mid \b{v}\in V\rbrace \cr \mathrm{Ker}(f) &= \lbrace \b{v}\in V\mid f(\b{v}) = \b{0} \rbrace \end{aligned}

Im(f)\mathrm{Im}(f) を ff の像 (英：image)、Ker(f)\mathrm{Ker}(f) を ff の核 (英：kernel) という。Ker(f)\mathrm{Ker}(f) が 00 以外の元を含む場合、ff は単射ではない。

階数と退化次数

線型写像 f:V→Wf:V\to W において、

rank(f)=dim⁡(Im(f))nul(f)=dim⁡(Ker(f)) \begin{aligned} \mathrm{rank}(f) &= \dim(\mathrm{Im}(f)) \cr \mathrm{nul}(f) &= \dim(\mathrm{Ker}(f)) \end{aligned}

rank(f)\mathrm{rank}(f) を階数 (英：rank)、nul(f)\mathrm{nul}(f) を退化次数 (英：nullity) という。

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