blue271828's misc :-)

等比級数

#解析学

Contents

呼称

概要

等比級数とは等比数列の総和である。

定義

初項 $a\ne 0$ 、公比 $r$ の等比級数は次式で定義される。

\[ \sum_{k=1}^\infty ar^{k-1} = a + ar + ar^2 +\cdots \]

部分和

初項 $a\ne 0$ 、公比 $r$ 、項数 $n$ の等比級数の部分和は、

\[ \sum_{k=0}^n ar^{k-1} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}, \quad (r\ne 1) \]

導出：

\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n ar^{k-1} &= a + ar + ar^2 +\cdots + ar^{n-1} \cr (1-r)\sum_{k=0}^n ar^{k-1} &= (1-r)(a + ar + ar^2 +\cdots + ar^{n-1}) \cr &= a - ar^n \cr \cr \therefore \sum_{k=0}^n ar^{k-1} &= \frac{a(1-r^{n})}{1-r}, \quad (r\ne 1) \end{aligned} \]

関連

文献

Tags

#Ansible (3) #Bash (1) #Docker (1) #Git (2) #Hugo (2) #Molecule (1) #Python (1) #WSLtty (1) #アルゴリズム (4) #ビジネス用語 (1) #プログラミング (1) #位相空間論 (8) #初等数学 (20) #初等関数 (1) #実解析 (1) #幾何学 (3) #微分積分学 (18) #情報理論 (4) #抽象代数学 (14) #数理モデル (2) #数理論理学 (21) #機械学習 (3) #正規表現 (1) #測度論 (3) #特殊関数 (4) #確率論 (18) #組合せ論 (5) #統計学 (12) #線型代数学 (18) #複素解析学 (4) #解析学 (15) #論理学 (6) #順序集合論 (9)