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等比級数

#解析学

Contents

呼称

概要

等比級数とは等比数列の総和である。

定義

初項 a≠0a\ne 0 、公比 rr の等比級数は次式で定義される。

∑k=1∞ark−1=a+ar+ar2+⋯ \sum_{k=1}^\infty ar^{k-1} = a + ar + ar^2 +\cdots

部分和

初項 a≠0a\ne 0 、公比 rr 、項数 nn の等比級数の部分和は、

∑k=0nark−1=a(1−rn)1−r,(r≠1) \sum_{k=0}^n ar^{k-1} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}, \quad (r\ne 1)

導出：

∑k=1nark−1=a+ar+ar2+⋯+arn−1(1−r)∑k=0nark−1=(1−r)(a+ar+ar2+⋯+arn−1)=a−arn∴∑k=0nark−1=a(1−rn)1−r,(r≠1) \begin{aligned} \sum_{k=1}^n ar^{k-1} &= a + ar + ar^2 +\cdots + ar^{n-1} \cr (1-r)\sum_{k=0}^n ar^{k-1} &= (1-r)(a + ar + ar^2 +\cdots + ar^{n-1}) \cr &= a - ar^n \cr \cr \therefore \sum_{k=0}^n ar^{k-1} &= \frac{a(1-r^{n})}{1-r}, \quad (r\ne 1) \end{aligned}

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