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極限

#位相空間論 #微分積分学

Contents

極限とは

ある数列あるいは点列がある値に限りなく近づくとき、その値を極限 (英：limit) といい、その数列あるいは点列は収束する (英：converge) という。収束しない場合は、発散する (英：diverge) という。

数列の収束

数列 an{a_n} の収束は ε-N 論法 (英：epsilon-N definition of limit) を用いて、次式のように定義される。次式を満たすとき数列 (an)(a_n) は極限 LL に収束するといい、(an)(a_n) は収束列と呼ばれる。

∀ε>0,∃N∈N,∀n∈N (n>N⇒∣an−L∣<ε)⇕lim⁡n→∞an=Lan:数列 (an) の元L:極限 \begin{gathered} \forall\varepsilon\gt 0,\exists{N}\in\N,\forall{n}\in\N ~(n\gt N \rArr |a_n-L|\lt\varepsilon) \\ \Updownarrow \\ \lim_{n\to\infty} a_n = L \\ \\ \begin{aligned} a_n &: \text{数列 }(a_n)\text{ の元} \\ L &: \text{極限} \\ \end{aligned} \end{gathered}

関数の収束

関数 ff の収束は ε-δ 論法 (英：epsilon-delta definition of limit) を用いて、次のように定義される。

lim⁡x→cf(x)=L⇕∀ε>0,∃δ>0,∀x∈R (0<∣x−c∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε) \begin{gathered} \lim_{x\to c}{f(x)} = L \cr \Updownarrow \cr \forall\varepsilon\gt 0,\exist\delta\gt 0,\forall{x}\in\R ~(0\lt |x-c|\lt\delta\Rarr|f(x)-L|\lt\varepsilon) \end{gathered}

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