指示関数

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指示関数とは

指示関数 (英：indicator function) とは、普遍集合 $U$ とその部分集合 $A$ に対して、集合 $\lbrace 0,1\rbrace$ へ $A$ に属するかどうかで $0$ または $1$ に像を写す実関数のこと。

$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & x\in A \cr 0 & x\in A^\mathrm c \end{cases}$

空集合の指示関数： $\chi_\empty(x) = 0 \quad (x\in U)$

普遍集合の指示関数： $\chi_U(x) = 1 \quad (x\in U)$

合併集合の指示関数：

$\chi_{A\cup B} = \chi_A +\chi_B - \chi_{A\cap B} \quad (A,B\sube U)$

直和集合の指示関数： $\chi_{A\sqcup B} = \chi_A + \chi_B \quad (A,B\sube U)$

差集合の指示関数： $\chi_{A\setminus B} = \chi_A - \chi_{A\cap B} \quad (A,B\sube U)$

対称差の指示関数： $\chi_{A\triangle B} = \chi_{A\setminus B} + \chi_{B\setminus A} \quad (A,B\sube U)$

補集合の指示関数： $\chi_{A^\mathrm c} = \chi_{U\setminus A} \quad (A\sube U)$

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松坂和夫
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