微分とは

微分 (英：differentiation) とは、ある量に依存して定まる量の変化の感度を求めること。区間 $I\sube\R$ の実一変数関数 $f$ において、変数 $x$ の微分により得られる関数 $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f$ を導関数 (英：derivative)、その結果 $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)$ を微分係数 (英：differential coefficient) という。$x$ の微分であることが明らかであるときは、$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f$ を $f^\prime$ と表しても良い。 $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x) := \lim_{\varDelta x\to 0}{\frac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}} \quad \text{for }x\in I\sube\R$

微分可能

区間 $I\sube\R$ の実一変数関数 $f:I\to\R$ が与えられ、点 $a\in I$ において微分係数 $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(a)$ がただ一つ存在するとき、「区間 $I$ の関数 $f$ は点 $a$ で $x$ について微分可能 (英：differentiable) である」という。また区間内の全ての $a$ において $f$ が微分可能である場合、$a$ を指定せず「区間 $I$ の関数 $f$ は $x$ について微分可能である」という。

$\begin{aligned} \exists!{\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(a)} &\lrArr f\text{ is differentiable with respect to }x\text{ at a} \cr \forall a\in I,\exists!\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(a) &\lrArr f\text{ is differentiable with respect to }x \cr \end{aligned}$

さらに $f$ が $x$ について $n$ 回微分可能であるとき、「区間 $I$ の関数 $f$ は $x$ について $n$ 階微分可能である」といい、次式のように表す。このように複数回微分を行うことを高階微分 (英：higher order differentiation) という。

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^n f = f^{(n)} = f^{\overbrace{\prime\prime...\prime}^{n\text{ times}}}$

連続微分可能

区間 $I\sube\R$ の実一変数関数 $f:I\to\R$ が $x$ について微分可能かつ、$f$ の導関数 $f^\prime$ が連続であるとき、「区間 $I$ の関数 $f$ は $x$ について連続微分可能 (英：continuously differentiable) である」という。さらに $f$ が $n$-階微分可能かつ $n$-階導関数 $f^{(n)}$ が連続であるとき、「区間 $I$ の関数 $f$ は $x$ について $n$-階連続微分可能である」という。

$n$-階連続微分可能は関数は、$\boldsymbol{C^n}$級 (英：class $C^n$) な関数あるいは $\boldsymbol{C^n}$級関数 (英：$C^n$ function) と呼ばれ、より高階な $C^n$級関数ほど滑らか (英：smoothness) であると表現される。

積の微分法則

積の微分法則 (英：product rule) とは、二つ以上の関数の積の導関数を求めるのに用いる公式のこと。

$(f(x)g(x))^\prime = f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)$

積の微分法則の導出：

$\begin{gathered} \begin{aligned} (f(x)g(x))^\prime &= \lim_{\varDelta x\to 0}\left[\frac{f(x+\varDelta x)g(x+\varDelta x)-f(x)g(x)}{\varDelta x}\right] \cr &= \lim_{\varDelta x\to 0}\left[\frac{f(x+\varDelta x)g(x+\varDelta x)-f(x+\varDelta x)g(x)+f(x+\varDelta x)g(x)-f(x)g(x)}{\varDelta x}\right] \cr &= \lim_{\varDelta x\to 0}\left[\frac{f(x+\varDelta x)g(x)-f(x)g(x)}{\varDelta x}\right] + \lim_{\varDelta x\to 0}\left[\frac{f(x+\varDelta x)g(x+\varDelta x)-f(x+\varDelta x)g(x)}{\varDelta x}\right] \\\ &= \lim_{\varDelta x\to 0}\left[\frac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}\right]g(x) + \lim_{\varDelta x\to 0}\left[f(x+\varDelta x)\frac{g(x+\varDelta x)-g(x)}{\varDelta x}\right] \\\ &= f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x) \cr \end{aligned} \cr \cr \therefore (f(x)g(x))^\prime = f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x) \end{gathered}$

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