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凸集合

#線型代数学

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凸集合

ベクトル空間の部分集合 SS が次式を満たすとき、SS を凸集合 (英：convex set) という。

∀x1,x2∈S,∀α∈[0,1] ((αx1+(1−α)x2)∈S) \forall \boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2\in S,\forall\alpha\in[0,1]~((\alpha\boldsymbol x_1 + (1-\alpha)\boldsymbol x_2)\in S)

凸結合

凸結合 (英：convex combination) とは、和が 11 となる非負実係数を持つ点の線型結合のこと。

∑i=1∣S∣αixiwhere αi∈R≥0,xi∈S,∑i=1∣S∣αi=1 \sum_{i=1}^{|S|} \alpha_i\boldsymbol x_i \quad\text{where }\alpha_i\in\R_{\ge 0},\boldsymbol x_i\in S,\sum_{i=1}^{|S|}\alpha_i = 1

凸包

凸包 (英：convex span) とは、凸結合により与えられた点を全て包含する最小の凸集合のこと。

Conv⁡(S)={∑i=1∣S∣αixi∣αi∈R≥0,xi∈S,∑i=1∣S∣αi=1} \operatorname{Conv}(S) = \left\lbrace \sum_{i=1}^{|S|}\alpha_i\boldsymbol x_i\mid\alpha_i\in\R_{\ge 0},\boldsymbol x_i\in S,\sum_{i=1}^{|S|}\alpha_i=1 \right\rbrace

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