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凸集合

凸集合

ベクトル空間の部分集合 $S$ が次式を満たすとき、$S$ を凸集合 (英:convex set) という。

\[ \forall \boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2\in S,\forall\alpha\in[0,1]~((\alpha\boldsymbol x_1 + (1-\alpha)\boldsymbol x_2)\in S) \]

凸結合

凸結合 (英:convex combination) とは、和が $1$ となる非負実係数を持つ点の線型結合のこと。

\[ \sum_{i=1}^{|S|} \alpha_i\boldsymbol x_i \quad\text{where }\alpha_i\in\R_{\ge 0},\boldsymbol x_i\in S,\sum_{i=1}^{|S|}\alpha_i = 1 \]

凸包

凸包 (英:convex span) とは、凸結合により与えられた点を全て包含する最小の凸集合のこと。

\[ \operatorname{Conv}(S) = \left\lbrace \sum_{i=1}^{|S|}\alpha_i\boldsymbol x_i\mid\alpha_i\in\R_{\ge 0},\boldsymbol x_i\in S,\sum_{i=1}^{|S|}\alpha_i=1 \right\rbrace \]

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