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写像

#数理論理学

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写像とは

始集合 AA と終集合 BB が与えられたとき、次の規則を満たす対応 f:A→Bf:A\to B のことを写像 (英：map) という。写像 ff の定義域は AA と等しい。

左全域性:(∀a∈A⇒∃b∈B)∧ ⟨a,b⟩∈Gf右一意性:⟨a,b⟩∈Gf∧⟨a,c⟩∈Gf⇒b=c \begin{aligned} \text{左全域性} &: (\forall a\in A \rArr \exists b \in B) \land ~ \lang a,b\rang \in G_f \cr \text{右一意性} &: \lang a,b \rang \in G_f \land \lang a,c \rang \in G_f \rArr b = c \cr \end{aligned}

また写像 ff が与えられたとき、終域の部分集合 QQ の逆像を ff による逆像 (英：inverse image) と呼ぶ。

f−1(Q):={a∣f(a)∈Q} f^{-1}(Q) := \lbrace a\mid f(a)\in Q\rbrace

全射

全射 (英：surjection) とは、値域が終集合に等しい写像のこと。始集合 AA と終集合 BB を持つ写像 ff が全射であるとき、写像 ff は次式で定義される。

f:A↠B:⇐∀b∃a(f(a)=b) f:A\twoheadrightarrow B :\lArr \forall b\exists a(f(a)=b)

単射

単射 (英：injectiion) とは、値域の各元が定義域の各元の唯一の像である写像のこと。始集合 AA と終集合 BB を持つ写像 ff が単射であるとき、写像 ff は次式で定義される。

f:A↪B:⇐∀a1,a2(f(a1)=f(a2)⇒a1=a2) f:A\hookrightarrow B :\lArr \forall a_1,a_2(f(a_1)=f(a_2)\rArr a_1=a_2)

全単射

全単射 (英：bijection) とは、全射かつ単射であること。始集合 AA と終集合 BB を持つ写像 ff が全単射であるとき、写像 ff は次式で表される。また全単射な写像の逆対応を逆写像 (英：inverse map) と呼ぶ。

f:A↔B f:A\lrarr B

恒等写像

恒等写像 (英：identity map) とは、定義域と値域が等しいかつ像と逆像が等しい写像のこと。集合 AA 上の恒等写像を id⁡A\operatorname{id}_A で表す。

id⁡A(a)=a(a∈A) \operatorname{id}_A(a) = a \quad (a\in A)

関数

写像 ff の値域が何かしらの数の集合であるとき、ff を関数 (英：function) という。

エピグラフ

実関数 f:Rn→Rf:\R^n\to\R のグラフにおいて、ff の上側の領域をエピグラフ (英：epigraph) という。

epi⁡f={⟨x,μ⟩:x∈Rn,μ∈R,μ≥f(x)}⊆Rn+1 \operatorname{epi}f = \lbrace\lang x,\mu\rang: x\in\R^n,\mu\in\R,\mu\ge f(x)\rbrace\sube\R^{n+1}

ハイポグラフ

実関数 f:Rn→Rf:\R^n\to\R のグラフにおいて、ff の下側の領域をハイポグラフ (英：hypograph) という。

hyp⁡f={⟨x,μ⟩:x∈Rn,μ∈R,μ≤f(x)}⊆Rn+1 \operatorname{hyp}f = \lbrace\lang x,\mu\rang: x\in\R^n,\mu\in\R,\mu\le f(x)\rbrace\sube\R^{n+1}

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