全微分
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全微分
全微分 (英：total differentiation) とは、実多変数関数の微分のこと。偏微分と異なり、他の変数を定数とせず微分する。偏微分に対応する形で常微分 (英：ordinary differentiation) とも呼ばれる。領域 $D$ の実多変数関数 $f$ において、全微分により得られる関数 $df$ を全導関数 (英：total derivative)、その結果 $df(\boldsymbol{x})$ を全微分係数 (英：total differential coefficient) と呼ぶ。
\[ df(\boldsymbol{x}) = \sum_{x_i\in\boldsymbol{x}}\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x})~dx_i \quad (\boldsymbol{x}\in D\sub\R^n) \]
全微分の導出：
実二変数関数の全微分を考え、
\[ \begin{aligned} x &= x(t) \cr x+\Delta x &= x(t+\Delta t) \cr \cr y &= y(t) \cr y+\Delta y &= y(t+\Delta t) \cr \end{aligned} \]
とおくと、
\[ \begin{aligned} \frac{df}{dt}(x,y) &= \lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t))-f(x(t),y(t))}{\Delta t} \cr &= \lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t))-f(x(t),y(t+\Delta t))}{\Delta t} \cr &\quad + \lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(x(t),y(t+\Delta t))-f(x(t),y(t))}{\Delta t} \cr &= \lim_{\Delta t\to 0}\left[\frac{f(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t))-f(x(t),y(t+\Delta t))}{x(t+\Delta t)-x(t)} \cdot\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}\right] \cr &\quad + \lim_{\Delta t\to 0}\left[\frac{f(x(t),y(t+\Delta t))-f(x(t),y(t))}{y(t+\Delta t)-y(t)} \cdot\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}\right] \cr &= \lim_{\Delta t,\Delta x,\Delta y\to 0}\left[\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)}{\Delta x} \cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}\right] \cr &\quad + \lim_{\Delta t,\Delta x,\Delta y\to 0}\left[\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} \cdot\frac{\Delta y}{\Delta t}\right] \cr &= \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\frac{dy}{dt} \cr \cr df(x,y) &= \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)~dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)~dy \cr \end{aligned} \]
実多変数関数でも同様に計算できることから、
\[ \therefore df(\boldsymbol{x}) = \sum_{x_i\in\boldsymbol{x}}\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x})~dx_i \]
全微分可能
領域 $D$ の実多変数関数 $f$ において微分係数 $df(\boldsymbol{a})$ がただ一つ定まるとき、$f$ は $\boldsymbol{a}$ で $x_i$ について全微分可能 (英：total differentiable) であるという。
\[ \exists! df(\boldsymbol{a}) \quad (\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\in D\sub\R^n) \]