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偏微分

#微分積分学

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偏微分

偏微分 (英：partial differentiation) とは、実多変数関数において、一つの変数以外を定数として微分をすること。領域 DD の実多変数関数 ff において、偏微分により得られる関数 ∂f∂xi\frac{\partial f}{\partial x_i} を偏導関数 (英：partial derivative) 、その結果 ∂f∂xi(x)\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x}) を偏微分係数 (英：partial differential coefficient) と呼ぶ。

∂f∂xi(x)=lim⁡Δxi→0f(x1,…,(xi+Δxi),…,xn)−f(x)Δxi(x∈D⊂Rn) \frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x}) = \lim_{\Delta x_i\to 0}\frac{f(x_1,\ldots,(x_i+\Delta x_i),\ldots,x_n) - f(\boldsymbol{x})}{\Delta x_i} \quad (\boldsymbol{x}\in D\sub \R^n)

偏微分可能

領域 DD の実多変数関数 ff において微分係数 ∂f∂xi(a)\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a}) がただ一つ定まるとき、ff は a\boldsymbol{a} で xix_i について偏微分可能 (英：partial differentiable) であるという。

∃!∂f∂xi(a)(x,a∈D⊂Rn) \exists!{\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a})}\quad (\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\in D\sub \R^n)

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