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余弦定理

#初等数学

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余弦定理

余弦定理 (英：law of cosine, cosine formula) とは、三角形の辺の長さと内角の余弦の間の関係を表した定理のこと。余弦定理には第二余弦定理とその補題である第一余弦定理があり、一般に余弦定理と言う場合は第二余弦定理を指す。

triangle


第一余弦定理：

a=bcos⁡γ+ccos⁡βb=ccos⁡α+acos⁡γc=acos⁡β+bcos⁡α \begin{aligned} a &= b\cos\gamma + c\cos\beta \cr b &= c\cos\alpha + a\cos\gamma \cr c &= a\cos\beta + b\cos\alpha \end{aligned}


第二余弦定理：

a2=b2+c2−2bccos⁡αb2=c2+a2−2cacos⁡βc2=a2+b2−2abcos⁡γ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \cr b^2 &= c^2 + a^2 - 2ca\cos\beta \cr c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \end{aligned}


余弦定理の証明：

triangle

a2=(bsin⁡α)2+(c−bcos⁡α)2=b2sin⁡2α+c2+b2cos⁡2α−2bccos⁡α=b2(sin⁡2α+cos⁡2α)+c2−2bccos⁡α∴a2=b2+c2−2bccos⁡α \begin{aligned} a^2 &= (b\sin\alpha)^2 + (c-b\cos\alpha)^2 \cr &= b^2\sin^2\alpha + c^2 + b^2\cos^2\alpha - 2bc\cos\alpha \cr &= b^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + c^2 - 2bc\cos\alpha \cr \cr \therefore a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \end{aligned}

b2,c2b^2 , c^2 も同様に導出できる。

b2=c2+a2−2cacos⁡βc2=a2+b2−2abcos⁡γ \begin{aligned} b^2 &= c^2 + a^2 - 2ca\cos\beta \cr c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \end{aligned}

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