二項関係

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二項関係とは

二項関係 (英：binary relation) とは、始集合 $X$ と終集合 $Y$ の直積集合の部分集合 (グラフ) $G\sube X\times Y$ 、あるいは $G$ により意味付けられた何かしらの規則を指す。二項関係 $R$ は、 $X,Y,G$ を組みにして $(X,Y,G)$ で表される。

二項関係は順序対 $(x,y)$ により表されるため、前後の特徴付けを持ち、 $R$ 上の順序対 $(x,y)\in G$ を「 $x$ は $y$ と $R$ -関係を持つ」といい $xRy$ で表す。

$\begin{gathered} \begin{aligned} R &= (X,Y,G) \\ xRy &= (x,y) \in G \end{aligned} \\ \\ \begin{aligned} R &: \text{二項関係} \\ X &: \text{始集合} \\ Y &: \text{終集合} \\ G &: \text{グラフ} \\ \end{aligned} \end{gathered}$

二項関係の相等

二つの二項関係 $R_1,R_2$ が与えられたとき、二つの二項関係の始集合・終集合・グラフが全て互いに等しければその二つは互いに等しい。

$\begin{gathered} R_1 = R_2 \lrArr (X_1=X_2) \land (Y_1=Y_2)\land (G_1=G_2) \\ \\ \begin{aligned} R_1 &= (X_1,Y_1,G_1) \\ R_2 &= (X_2,Y_2,G_2) \end{aligned} \end{gathered}$

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二項関係の相等

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