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ネイピア数

#初等数学

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ネイピア数

ネイピア数 (英：Napier's constant) とは、次式で定義される数学定数のこと。

e=lim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡t→0(1+t)1/t \begin{aligned} e &= \lim _{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cr &= \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{1/t} \end{aligned}

ネイピア数の諸定理

(N1):ex=lim⁡n→∞(1+xn)n(N2):ddxeλx=λeλx \begin{aligned} \text{(N1)} &: e^x =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \\ \text{(N2)} &: \frac{d}{dx} e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x} \end{aligned}

(N1)\bold{(N1)} の導出：

lim⁡n→∞(1+xn)n=lim⁡n→∞[(1+xn)n/x]x=lim⁡n→∞[(1+xn)n/x]x∣λ=n/x=lim⁡λ→∞[(1+1λ)λ]x=ex∴ex=lim⁡n→∞(1+xn)n \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n &= \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}\right]^x \cr &= \left.\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}\right]^x\right|_{\lambda=n/x} \cr &= \lim_{\lambda\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\lambda}\right)^\lambda\right]^x \cr &= e^x \cr \cr \therefore e^x &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \end{aligned}

(N2)\bold{(N2)} の導出：

∵f(x)=ex,g(x)=λxddxeλx=f′(g(x))g′(x)=λeλx∴ddxeλx=λeλx \begin{gathered} \because f(x)=e^x,g(x)=\lambda x \\ \\ \begin{aligned} \frac{d}{dx}e^{\lambda x} &= f^\prime(g(x))g^\prime(x) \\ &= \lambda e^{\lambda x} \end{aligned} \\ \\ \therefore \frac{d}{dx}e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x} \end{gathered}

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