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sinc関数

#初等数学

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sinc関数

sinc関数 (英：sinc function) とは、正弦関数をその変数で割る関数のこと。sinc関数は、非正規化sinc関数と正規化sinc関数の二つの定義を持つ。当記事では、非正規化sinc関数をsinc関数の定義として取り扱う。

非正規化 sinc関数

数学では、非正規化sinc関数 (英：unnormalized sinc function) が定義として用いられる。

sinc⁡(x)=sin⁡xx(x≠0) \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x} \quad (x\ne 0)

正規化sinc関数

デジタル信号処理、情報理論では、正規化sinc関数 (英：normalized sinc function)が定義として用いられる。

sinc⁡(x)=sin⁡πxπx \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin\pi x}{\pi x}

sinc関数の微分

sinc⁡′(x)=1 \operatorname{sinc}^\prime(x) = 1


sinc関数の微分の導出：

sinc-function

上図から次の関係が成り立つ。

△OAB<2π<△OBC=12sin⁡θ<12θ<12tan⁡θ \triangle{OAB}\lt 2\pi\lt\triangle{OBC} = \frac{1}{2}\sin\theta\lt\frac{1}{2}\theta\lt\frac{1}{2}\tan\theta

12sin⁡x\displaystyle \frac{1}{2}\sin x で割り、逆数をとると、

12sin⁡θ12tan⁡θ<12sin⁡θ12θ<12sin⁡θ12sin⁡θ=cos⁡θ<sin⁡θθ<1 \frac{\frac{1}{2}\sin\theta}{\frac{1}{2}\tan\theta}\lt \frac{\frac{1}{2}\sin\theta}{\frac{1}{2}\theta}\lt \frac{\frac{1}{2}\sin\theta}{\frac{1}{2}\sin\theta} = \cos\theta\lt\frac{\sin\theta}{\theta}\lt 1

ここで、x→0x\to 0 で極限をとると、

lim⁡θ→0cos⁡θ=1 \lim_{\theta\to 0} \cos\theta = 1

よってはさみうちの原理により、

lim⁡θ→0sin⁡θθ=1∴sinc⁡′x=1 \begin{aligned} \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \cr \cr \therefore \operatorname{sinc}^\prime x = 1 \end{aligned}

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