高位の無限小
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呼称
- 高位の無限小, 高次の無限小 (infinitesimal of higher order)
定義
一次函数の場合
一次函数 $f(x),g(x)$ について、「$a$ において、$f(x)$ は $g(x)$ より高位の無限小である」とは、次式を満たすことである。
\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to 0 ~(x\to a)\right] \]
右極限の場合
$f(x),g(x)$ の無限小が $x\to +a$ を意味する場合、「$a$ において、$f(x)$ は $g(x)$ より高位の無限小である」は、次式を満たすことを指す。
\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to +a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to +a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to 0 ~(x\to +a)\right] \]
左極限の場合
$f(x),g(x)$ の無限小が $x\to -a$ を意味する場合、「$a$ において、$f(x)$ は $g(x)$ より高位の無限小である」は、次式を満たすことを指す。
\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to -a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to -a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to 0 ~(x\to -a)\right] \]
多変数実数値函数の場合
点 $A~(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ において二つの多変数実数値函数 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n),g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ について、「$A~(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ において、$f(x)$ は $g(x)$ より高位の無限小である」とは、次式を満たすことである。
\[ \begin{aligned} &\left[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\to 0~(x_1\to a_1, x_2\to a_2,\ldots,x_n\to a_n)\right] \cr &\qquad \land \left[g(x_1,x_2,\ldots,x_n)\to 0~(x_1\to a_1, x_2\to a_2,\ldots,x_n\to a_n)\right] \cr &\qquad \land \left[\frac{f(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{g(x_1,x_2,\ldots,x_n)}\to 0~(x_1\to a_1, x_2\to a_2,\ldots,x_n\to a_n)\right] \end{aligned} \]