高位の無限小

#解析学

Contents

呼称

高位の無限小, 高次の無限小 (infinitesimal of higher order)

定義

一次函数の場合

一次函数 $f(x),g(x)$ について、「 $a$ において、 $f(x)$ は $g(x)$ より高位の無限小である」とは、次式を満たすことである。

$\left[f(x)\to 0 ~(x\to a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to 0 ~(x\to a)\right]$

右極限の場合

$f(x),g(x)$ の無限小が $x\to +a$ を意味する場合、「 $a$ において、 $f(x)$ は $g(x)$ より高位の無限小である」は、次式を満たすことを指す。

$\left[f(x)\to 0 ~(x\to +a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to +a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to 0 ~(x\to +a)\right]$

左極限の場合

$f(x),g(x)$ の無限小が $x\to -a$ を意味する場合、「 $a$ において、 $f(x)$ は $g(x)$ より高位の無限小である」は、次式を満たすことを指す。

$\left[f(x)\to 0 ~(x\to -a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to -a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to 0 ~(x\to -a)\right]$

多変数実数値函数の場合

点 $A~(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ において二つの多変数実数値函数 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n),g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ について、「 $A~(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ において、 $f(x)$ は $g(x)$ より高位の無限小である」とは、次式を満たすことである。

$\begin{aligned} &\left[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\to 0~(x_1\to a_1, x_2\to a_2,\ldots,x_n\to a_n)\right] \cr &\qquad \land \left[g(x_1,x_2,\ldots,x_n)\to 0~(x_1\to a_1, x_2\to a_2,\ldots,x_n\to a_n)\right] \cr &\qquad \land \left[\frac{f(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{g(x_1,x_2,\ldots,x_n)}\to 0~(x_1\to a_1, x_2\to a_2,\ldots,x_n\to a_n)\right] \end{aligned}$

文献

無限小の位数とランダウの記号o,O[数学についてのwebノート]

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