blue271828's misc :-)

順序対

#数理論理学

Contents

順序対とは

順序対 (英：ordered pair) とは、二つの数学的対象を対にし、前後の特徴付けをしたもの。順序対の集合論的定義には様々な定義が存在するが、ここではクラフトスキーの定義を記す。

⟨x,y⟩:={{x},{x,y}} \lang x,y \rang := \lbrace\lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace\rbrace

順序対の相等

⟨x,y⟩=⟨z,w⟩⇔x=z∧y=w \lang x,y \rang = \lang z,w \rang \lrArr x = z \land y = w


順序対の相等の導出： ⟨x,y⟩={{x},{x,y}}⟨z,w⟩={{z},{z,w}}x=z⇔{x}={z}x=z∧y=w⇔{x,y}={z,w}⇔{{x},{x,y}}={{z},{z,w}}∴⟨x,y⟩=⟨z,w⟩⇔x=z∧y=w \begin{aligned} \lang x,y \rang &= \lbrace\lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace\rbrace \cr \lang z,w \rang &= \lbrace\lbrace z \rbrace, \lbrace z,w \rbrace\rbrace \cr \cr x = z &\lrArr \lbrace x \rbrace = \lbrace z \rbrace \cr x = z \land y = w &\lrArr \lbrace x,y \rbrace = \lbrace z,w \rbrace \cr &\lrArr \lbrace\lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace\rbrace = \lbrace\lbrace z \rbrace, \lbrace z,w \rbrace\rbrace \cr \cr \therefore \lang x,y \rang = \lang z,w \rang &\lrArr x = z \land y = w \end{aligned}

順序対から順序組へ

順序組 (英：ordered tuplet) とは、有限の長さの列のこと。任意の長さの順序組は、順序対の定義と数学的帰納法を用いて定義できる。

():=∅(a1):={{a1}}(a1,a2):=⟨a1,a2⟩(a1,a2,a3):=⟨⟨a1,a2⟩,a3⟩⋮(a1,⋯ ,an):=⟨⋯⟨a1,a2⟩,⋯ ,an⟩ \begin{aligned} () &:= \empty \cr (a_1) &:= \lbrace\lbrace a_1 \rbrace\rbrace \cr (a_1,a_2) &:= \lang a_1,a_2 \rang \cr (a_1,a_2,a_3) &:= \lang\lang a_1,a_2 \rang, a_3 \rang \cr &\enspace\vdots \cr (a_1,\cdots,a_n) &:= \lang\cdots\lang a_1,a_2 \rang,\cdots, a_n \rang \end{aligned}

順序組の相等

(a1,⋯ ,an)=(b1,⋯ ,bn)≡⋀in(ai=bi) (a_1,\cdots,a_n) = (b_1,\cdots,b_n) \equiv \bigwedge_i^n(a_i = b_i)


順序組の相等の導出： a1=a2≡{a1}={b1}≡{{a1}}={{b1}}a1=b1∧a2=b2≡⟨a1,a2⟩=⟨b1,b2⟩⋮⋀in(ai=bi)≡⟨⋯⟨a1,a2⟩,⋯ ,an⟩=⟨⋯⟨b1,b2⟩,⋯ ,bn⟩≡(a1,⋯ ,an)=(b1,⋯ ,bn)∴(a1,⋯ ,an)=(b1,⋯ ,bn)≡⋀in(ai=bi) \begin{aligned} a_1 = a_2 &\equiv \lbrace a_1 \rbrace = \lbrace b_1 \rbrace \cr &\equiv \lbrace\lbrace a_1 \rbrace\rbrace = \lbrace\lbrace b_1 \rbrace\rbrace \cr a_1 = b_1 \land a_2 = b_2 &\equiv \lang a_1,a_2 \rang = \lang b_1,b_2 \rang \cr &\enspace\vdots \cr \bigwedge_i^n(a_i = b_i) &\equiv \lang\cdots\lang a_1,a_2 \rang,\cdots, a_n \rang = \lang\cdots\lang b_1,b_2 \rang,\cdots, b_n \rang \cr &\equiv (a_1,\cdots,a_n) = (b_1,\cdots,b_n) \cr \cr \therefore (a_1,\cdots,a_n) &= (b_1,\cdots,b_n) \equiv \bigwedge_i^n(a_i = b_i) \end{aligned}

関連記事

Tags

#Ansible (3) #Bash (1) #Docker (1) #Git (2) #Hugo (2) #Molecule (1) #Python (1) #WSLtty (1) #アルゴリズム (4) #ビジネス用語 (1) #プログラミング (1) #位相空間論 (8) #初等数学 (20) #初等関数 (1) #実解析 (1) #幾何学 (3) #微分積分学 (18) #情報理論 (4) #抽象代数学 (14) #数理モデル (2) #数理論理学 (21) #機械学習 (3) #正規表現 (1) #測度論 (3) #特殊関数 (4) #確率論 (18) #組合せ論 (5) #統計学 (12) #線型代数学 (18) #複素解析学 (4) #解析学 (15) #論理学 (6) #順序集合論 (9)