集合とは

集合 (英：set) とは、数学的対象 (英：mathematical object) により構成された「集まり」のこと。数学的対象とは、数学から生じてくる抽象的対象のことであり、集合もまた数学的対象である。

集合を構成する個々の数学的対象のことを 元 (英：element) と呼ぶ。集合 $M$ が元 $m$ を含むことを次式のように表す。なお、元を一つも含まない集合は空集合 (英：empty set) と呼ばれ、$\empty$ で表される。

$m \in M$

集合の記法

集合の記法には外延的記法 (英：roster notation) と 内包的記法 (英：set-builder notation) がある。以下に $0$ から $12$ までの偶数の自然数を、それぞれの記法で記す。

外延的記法：

外延的記法では、各元を列挙して集合を表す。

$\lbrace 0,2,4,6,8,10,12 \rbrace$

内包的記法：

内包的記法では、$\mid$ の右側に条件を指定する。なお、$\N$ は自然数、$x\bmod 2$ は $x$ を $2$ で割った余りを表している。

$\lbrace x\in\N\mid x\bmod 2 = 0, ~x\le 12 \rbrace$

合併集合

二つの集合 $A,B$ が与えられたとき、$A,B$ どちらかに属する元を持つ集合を $A$ と $B$ の合併集合 (英：union set) と呼ぶ。

$A\cup B := \lbrace x\mid x\in A\lor x\in B\rbrace$

共通部分

二つの集合 $A,B$ が与えられたとき、$A,B$ どちらにも属する元を持つ集合を $A$ と $B$ の共通部分 (英：intersection) と呼ぶ。

$A\cap B := \lbrace x\mid x\in A\land x\in B\rbrace$

和積の性質

可換則 (英：commutative law) ：

$A\cup B = B\cup A \\ A\cap B = B\cap A$

結合則 (英：associative law) ：

$(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C) \\ (A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)$

分配則 (英：distributive law) ：

$A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C) \\ A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$

吸収則 (英：absorption law) ：

$A\cup (A\cap B) = A \\ A\cap (A\cup B) = A$

和積の基本公式

$\begin{aligned} & A\sube A\cup B, ~B\sube A\cup B \cr & A\sube C\land B\sube C \rArr A\cup B\sube C \cr \cr & A\cap B\sube A, ~A\cap B\sube B \cr & A\sube B, ~A\sube C\rArr A\sube B\cap C \end{aligned}$

差集合

二つの集合 $A,B$ が与えられたとき、$A$ に属するが、$B$ には属さない元を持つ集合を $A$ から $B$ の差集合 (英：set difference) と呼ぶ。

$A\setminus B := \lbrace x\mid x\in A\land x\notin B\rbrace$

対称差

二つの集合 $A,B$ が与えられたとき、$A$ に属するが $B$ には属さず、$A$ に属さず $B$ に属する元を持つ集合を $A$ から $B$ の対称差 (英：symmetric difference) と呼ぶ。

$A\triangle B := (A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

非交和

二つの集合が与えられ、共通部分が空集合を満たすことを互いに素 (英：disjoint) であるという。このとき、この二つの和集合を非交和 (英：disjoint union) と呼ぶ。

$X\sqcup Y := X\cup Y \quad (X\cap Y =\empty)$

集合の分割

集合の分割 (partition of a set) とは、互いに素である非空な部分集合 $A\sube X$ を元とした以下の性質を満たす集合 $P$ のこと。

$\begin{aligned} \text{(P1)} &: \empty\notin P \cr \text{(P2)} &: \bigsqcup_{A\in P} A = X \cr \end{aligned}$

• $\text{(P1)}$ ：空集合は $P$ の元ではない。
• $\text{(P2)}$ ：$P$ の全ての元の非交和は $X$ である。

参考文献

集合・位相入門

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松坂 和夫
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