部分集合
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部分集合とは
二つの集合の一方の集合の全ての元が、他方の集合にも属しているとき、その集合を部分集合 (英:subset) という。また二つの集合の一方が部分集合であるとき、二つの集合間には包含関係があるという。
\[ \forall{x} ~(x\in S_1\rArr x\in S_2) \rArr S_1\sube S_2 \]
またある部分集合が、包含関係はあるが相等関係がないとき、その部分集合を真部分集合 (英:proper subset) という。
\[ (S_1\sube S_2)\land (S_1\ne S_2) \rArr S_1\sub S_2 \]
普遍集合
考察においてある定まった集合の部分集合を考えるとき、その定まっている集合を普遍集合 (英:universal set) と呼ぶ。
補集合
普遍集合 $U$ が与えられているとき、$U$ の部分集合 $A$ を除いた集合を補集合 (英:complementary set) と呼び、$A^\complement$ と表す。
\[ A^\complement := U\setminus A \quad (A\sube U) \]
部分集合族
普遍集合 $\varOmega$ の部分集合族 (英:family of subsets) とは、$\varOmega$ を元とする集合族のこと。部分集合族は冪集合の部分集合でもある。
\[ S \sube \mathfrak{P}(\Omega) \]
被覆
普遍集合 $\varOmega$ の部分集合族 $\lbrace U_\lambda\rbrace_{\lambda\in\varLambda}$ の要素の合併集合が $\varOmega$ と等しいとき、$\lbrace U_\lambda\rbrace_{\lambda\in\varLambda}$ は $\varOmega$ を被覆する (英:cover) という。 \( \varOmega = \bigcup_{\lambda\in\varLambda} U_\lambda \)