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部分積分

#微分積分学

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部分積分

部分積分 (英：integration by parts) とは、積の積分を容易にするために使われる定理のこと。

定積分の部分積分

区間 $x\in [a,b]$ の二つの微分可能な関数 $u,v$ の積の定積分は、次式のように変形できる。

\[ \int_a^b{u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx} = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b{u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx} \]


定積分の部分積分の導出：

$u,v$ は微分可能であるため、積の微分法則により、

\[ \begin{aligned} \big[u(x)v(x)\big]^\prime &= u^\prime(x)v(x) + u(x)v^\prime(x) \cr \int_a^b \big[u(x)v(x)\big]^\prime~\mathrm dx &= \int_a^b u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx + \int_a^b u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx \cr \int_a^b u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx &= \int_a^b \big[u(x)v(x)\big]^\prime~\mathrm dx - \int_a^b u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx \cr &= \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx \cr \cr \therefore \int_a^b{u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx} &= \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b{u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx} \end{aligned} \]

不定積分の部分積分

二つの微分可能な関数 $u,v$ の積の不定積分は、次式のように変形できる。

\[ \int{u(x)v^\prime(x)dx} = u(x)v(x) - \int{u^\prime(x)v(x)dx} \]


不定積分の部分積分の導出：

$u,v$ は微分可能であるため、積の微分法則により、

\[ \begin{aligned} \big[u(x)v(x)\big]^\prime &= u^\prime(x)v(x) + u(x)v^\prime(x) \cr \int \big[u(x)v(x)\big]^\prime\mathrm dx &= \int u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx + \int u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx \cr \int u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx &= \int \big[u(x)v(x)\big]^\prime~\mathrm dx - \int u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx \cr &= u(x)v(x) - \int u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx \cr \cr \therefore \int{u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx} &= u(x)v(x) - \int{u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx} \end{aligned} \]

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