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部分積分

#微分積分学

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部分積分

部分積分 (英：integration by parts) とは、積の積分を容易にするために使われる定理のこと。

定積分の部分積分

区間 x∈[a,b]x\in [a,b] の二つの微分可能な関数 u,vu,v の積の定積分は、次式のように変形できる。

∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx \int_a^b{u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx} = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b{u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx}


定積分の部分積分の導出：

u,vu,v は微分可能であるため、積の微分法則により、

[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)∫ab[u(x)v(x)]′ dx=∫abu′(x)v(x) dx+∫abu(x)v′(x) dx∫abu(x)v′(x) dx=∫ab[u(x)v(x)]′ dx−∫abu′(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx∴∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx \begin{aligned} \big[u(x)v(x)\big]^\prime &= u^\prime(x)v(x) + u(x)v^\prime(x) \cr \int_a^b \big[u(x)v(x)\big]^\prime~\mathrm dx &= \int_a^b u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx + \int_a^b u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx \cr \int_a^b u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx &= \int_a^b \big[u(x)v(x)\big]^\prime~\mathrm dx - \int_a^b u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx \cr &= \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx \cr \cr \therefore \int_a^b{u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx} &= \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b{u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx} \end{aligned}

不定積分の部分積分

二つの微分可能な関数 u,vu,v の積の不定積分は、次式のように変形できる。

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx \int{u(x)v^\prime(x)dx} = u(x)v(x) - \int{u^\prime(x)v(x)dx}


不定積分の部分積分の導出：

u,vu,v は微分可能であるため、積の微分法則により、

[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)∫[u(x)v(x)]′dx=∫u′(x)v(x) dx+∫u(x)v′(x) dx∫u(x)v′(x) dx=∫[u(x)v(x)]′ dx−∫u′(x)v(x) dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) dx∴∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) dx \begin{aligned} \big[u(x)v(x)\big]^\prime &= u^\prime(x)v(x) + u(x)v^\prime(x) \cr \int \big[u(x)v(x)\big]^\prime\mathrm dx &= \int u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx + \int u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx \cr \int u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx &= \int \big[u(x)v(x)\big]^\prime~\mathrm dx - \int u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx \cr &= u(x)v(x) - \int u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx \cr \cr \therefore \int{u(x)v^\prime(x)~\mathrm dx} &= u(x)v(x) - \int{u^\prime(x)v(x)~\mathrm dx} \end{aligned}

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