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複素共役

#解析学

Contents

呼称

定義

複素共役とは、複素数の虚部の符号を入れ替えたもの。

zˉ=a−ib \bar{z} = a - ib

性質

z‾+w‾=z+w‾\overline{z} + \overline{w} = \overline{z+w} の導出：

z‾+w‾=(az−ibz)+(aw−ibw)=(az+aw)−i(bz+bw)=(az+aw)+i(bz+bw)‾=(az+ibz)+(aw+ibw)‾=z+w‾∴z‾+w‾=z+w‾ \begin{aligned} \overline{z} + \overline{w} &= (a_z-ib_z) + (a_w-ib_w) \cr &= (a_z+a_w) - i(b_z+b_w) \cr &= \overline{(a_z+a_w) + i(b_z+b_w)} \cr &= \overline{(a_z+ib_z) + (a_w+ib_w)} \cr &= \overline{z+w} \cr \cr \therefore \overline{z} + \overline{w} &= \overline{z+w} \end{aligned}

z‾−w‾=z−w‾\overline{z} - \overline{w} = \overline{z-w} の導出：

z‾−w‾=(az−ibz)−(aw−ibw)=(az−aw)−i(bz−bw)=(az−aw)+i(bz−bw)‾=(az+ibz)−i(aw+ibw)‾=z−w‾∴z‾−w‾=z−w‾ \begin{aligned} \overline{z} - \overline{w} &= (a_z-ib_z) - (a_w-ib_w) \cr &= (a_z-a_w) - i(b_z-b_w) \cr &= \overline{(a_z-a_w) + i(b_z-b_w)} \cr &= \overline{(a_z+ib_z) - i(a_w+ib_w)} \cr &= \overline{z-w} \cr \cr \therefore \overline{z} - \overline{w} &= \overline{z-w} \end{aligned}

z‾⋅w‾=zw‾\overline{z}\cdot\overline{w} = \overline{zw} の導出：

z‾⋅w‾=(az−ibz)(aw−ibw)=azaw−iazbw−iawbz−bzbw=(azaw−bzbw)−i(azbw+awbz)=(azaw−bzbw)+i(azbw+awbz)‾=(az+ibz)(aw+ibw)‾=zw‾∴z‾⋅w‾=zw‾ \begin{aligned} \overline{z}\cdot\overline{w} &= (a_z - ib_z)(a_w - ib_w) \cr &= a_z a_w - ia_z b_w -ia_w b_z - b_z b_w \cr &= (a_z a_w - b_z b_w) - i(a_z b_w + a_w b_z) \cr &= \overline{(a_z a_w - b_z b_w) + i(a_z b_w + a_w b_z)} \cr &= \overline{(a_z + ib_z)(a_w + ib_w)} \cr &= \overline{zw} \cr \cr \therefore \overline{z}\cdot\overline{w} &= \overline{zw} \end{aligned}

z‾w‾=(zw)‾, (∀w≠0)\displaystyle \frac{\overline{z}}{\overline{w}} = \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} , ~(\forall{w}\ne 0) の導出：

z‾w‾=az−ibzaw−ibw=(az−ibz)(aw+ibw)(aw−ibw)(aw+ibw)=azaw+bzbw+iazbw−iawbzaw2+bw2=(azaw+bzbwaw2+bw2)−i(awbz−azbwaw2+bw2)=(azaw+bzbwaw2+bw2)+i(awbz−azbwaw2+bw2)‾=(azaw+bzbw−iazbw+iawbzaw2+bw2)‾=[(az+ibz)(aw−ibw)(aw+ibw)(aw−ibw)]‾=(zw)‾∴z‾w‾=(zw)‾, (∀w≠0) \begin{aligned} \frac{\overline{z}}{\overline{w}} &= \frac{a_z-ib_z}{a_w-ib_w} \cr &= \frac{(a_z-ib_z)(a_w+ib_w)}{(a_w-ib_w)(a_w+ib_w)} \cr &= \frac{a_z a_w + b_z b_w + ia_z b_w - ia_w b_z}{a_w^2+b_w^2} \cr &= \left(\frac{a_z a_w + b_z b_w}{a_w^2 + b_w^2}\right) - i\left(\frac{a_w b_z - a_z b_w}{a_w^2 + b_w^2}\right) \cr &= \overline{\left(\frac{a_z a_w + b_z b_w}{a_w^2 + b_w^2}\right) + i\left(\frac{a_w b_z - a_z b_w}{a_w^2 + b_w^2}\right)} \cr &= \overline{\left(\frac{a_z a_w + b_z b_w - ia_z b_w + ia_w b_z}{a_w^2+b_w^2}\right)} \cr &= \overline{\left[\frac{(a_z+ib_z)(a_w-ib_w)}{(a_w+ib_w)(a_w-ib_w)}\right]} \cr &= \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} \cr \cr \therefore \displaystyle \frac{\overline{z}}{\overline{w}} &= \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} , ~(\forall{w}\ne 0) \end{aligned}

z∈R⇔z‾=zz\in\R\lrArr\overline{z}=z の導出：

z=a+iba,b∈Rz∈R⇔b=0z=a+i0=az‾=a−i0=a∴z∈R⇔z‾=z \begin{aligned} z &= a + ib \qquad a,b\in\R \cr z\in\R &\lrArr b=0 \cr z &= a+i0 \cr &= a \cr \overline{z} &= a-i0 \cr &= a \cr \cr \therefore z\in\R&\lrArr\overline{z}=z \end{aligned}

z∈C∖R⇔z‾=−zz\in\Complex \setminus \R \lrArr \overline{z}=-z の導出：

z=a+iba,b∈Rz∈C∖R⇔a=0z=0+ib=ibz‾=0−ib=−ib∴z∈C∖R⇔z‾=−z \begin{aligned} z &= a + ib \qquad a,b\in\R \cr z \in \Complex\setminus\R &\lrArr a = 0 \cr z &= 0 + ib \cr &= ib \cr \overline{z} &= 0 - ib \cr &= -ib \cr \cr \therefore z\in\Complex \setminus \R &\lrArr \overline{z}=-z \end{aligned}

z‾‾=z\overline{\overline{z}} = z の導出：

z=a+iba,b∈Rz‾=a−ib=a+(−ib)z‾‾=a−(−ib)=a+ib∴z‾‾=z \begin{aligned} z &= a + ib \qquad a,b\in\R \cr \overline{z} &= a - ib \cr &= a + (-ib)\cr \overline{\overline{z}} &= a -(-ib) \cr &= a + ib \cr \cr \therefore \overline{\overline{z}} &= z \end{aligned}

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