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級数

級数

級数 (英:series) とは数列の和のこと。

\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty a_k &= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n a_k \cr &= a_0 + a_1 +\cdots \end{aligned} \]

部分和

数列の初項から第 $n$ 項までの和を $n$-部分和、もしくは部分和 (英:partial sum) という。

\[ S_n = \sum_{k=0}^n a_k \]

部分和列

部分和列 (英:sequence of partial sums) とは、第 $n$ 項を $n$-部分和とした数列のこと。

\[ \lbrace S_n\rbrace = \sum_{k=0}^0 a_k,\sum_{k=0}^1 a_k,\ldots,\sum_{k=0}^n a_k,\ldots \]

級数の収束と発散

級数が $S$ に収束するとは、その級数の部分和列が $S$ に収束するということ。収束しない場合は発散するという。

有限の値に収束する $\lim_{n\to\infty}S_n = S$
発散する 正の無限大に発散する $\lim_{n\to\infty} S_n = +\infty$
負の無限大に発散する $\lim_{n\to\infty} S_n = -\infty$
振動する

絶対収束

級数が絶対収束 (英:converge absolutely) するとは、項を絶対値とした級数が収束するということ。

\[ \sum_{k=0}^\infty |a_k| = s \]

条件収束

級数が条件収束 (英:converge conditionally) するとは、収束はするが絶対収束はしないこと。

絶対収束であれば収束

無限数列 $\lbrace a_k \rbrace$ の級数を、次式のように分割する。

\[ \begin{aligned} a_k^+ &= \max(a_k,0) \cr a_k^- &= \max(-a_k,0) \cr \cr \sum_{k=0}^\infty a_k &= \sum_{k=0}^\infty(a_k^+ - a_k^-) \cr &= \sum_{k=0}^\infty a_k^+ - \sum_{k=0}^\infty a_k^- \end{aligned} \]

また、級数が全体収束であるため、次式が成り立つ。

\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty|a_k| &= \sum_{k=0}^\infty a_k^+ + \sum_{k=0}^\infty a_k^- \cr \lim_{k\to\infty}|a_k| &= 0 \cr \cr 0\le a_k^+ &\le |a_k| \cr 0\le a_k^- &\le |a_k| \cr \end{aligned} \tag{1} \]

$(1)$ より、$a_k^-, a_k^+$ を項とする級数はどちらも単調増加であり有限の値に収束する。よって無限数列 $\lbrace a_k \rbrace$ の級数も収束するため、絶対収束であれば収束であるといえる。

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参考文献

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