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級数

#初等数学

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級数

級数 (英：series) とは数列の和のこと。

∑k=0∞ak=lim⁡n→∞∑k=0nak=a0+a1+⋯ \begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty a_k &= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n a_k \cr &= a_0 + a_1 +\cdots \end{aligned}

部分和

数列の初項から第 nn 項までの和を nn-部分和、もしくは部分和 (英：partial sum) という。

Sn=∑k=0nak S_n = \sum_{k=0}^n a_k

部分和列

部分和列 (英：sequence of partial sums) とは、第 nn 項を nn-部分和とした数列のこと。

{Sn}=∑k=00ak,∑k=01ak,…,∑k=0nak,… \lbrace S_n\rbrace = \sum_{k=0}^0 a_k,\sum_{k=0}^1 a_k,\ldots,\sum_{k=0}^n a_k,\ldots

級数の収束と発散

級数が SS に収束するとは、その級数の部分和列が SS に収束するということ。収束しない場合は発散するという。

有限の値に収束する lim⁡n→∞Sn=S\lim_{n\to\infty}S_n = S
発散する 正の無限大に発散する lim⁡n→∞Sn=+∞\lim_{n\to\infty} S_n = +\infty
負の無限大に発散する lim⁡n→∞Sn=−∞\lim_{n\to\infty} S_n = -\infty
振動する

絶対収束

級数が絶対収束 (英：converge absolutely) するとは、項を絶対値とした級数が収束するということ。

∑k=0∞∣ak∣=s \sum_{k=0}^\infty |a_k| = s

条件収束

級数が条件収束 (英：converge conditionally) するとは、収束はするが絶対収束はしないこと。

絶対収束であれば収束

無限数列 {ak}\lbrace a_k \rbrace の級数を、次式のように分割する。

ak+=max⁡(ak,0)ak−=max⁡(−ak,0)∑k=0∞ak=∑k=0∞(ak+−ak−)=∑k=0∞ak+−∑k=0∞ak− \begin{aligned} a_k^+ &= \max(a_k,0) \cr a_k^- &= \max(-a_k,0) \cr \cr \sum_{k=0}^\infty a_k &= \sum_{k=0}^\infty(a_k^+ - a_k^-) \cr &= \sum_{k=0}^\infty a_k^+ - \sum_{k=0}^\infty a_k^- \end{aligned}

また、級数が全体収束であるため、次式が成り立つ。

∑k=0∞∣ak∣=∑k=0∞ak++∑k=0∞ak−lim⁡k→∞∣ak∣=00≤ak+≤∣ak∣0≤ak−≤∣ak∣(1) \begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty|a_k| &= \sum_{k=0}^\infty a_k^+ + \sum_{k=0}^\infty a_k^- \cr \lim_{k\to\infty}|a_k| &= 0 \cr \cr 0\le a_k^+ &\le |a_k| \cr 0\le a_k^- &\le |a_k| \cr \end{aligned} \tag{1}

(1)(1) より、ak−,ak+a_k^-, a_k^+ を項とする級数はどちらも単調増加であり有限の値に収束する。よって無限数列 {ak}\lbrace a_k \rbrace の級数も収束するため、絶対収束であれば収束であるといえる。

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