濃度

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濃度とは

濃度 (英：cardinality) とは、二つの集合の元に対する、一般化された個数比較の概念こと。

$\mathfrak a = |A|$

濃度の比較は、単射・全射・全単射を用いて定義付けられる。また二項関係 $\le$ は、反射性, 推移性, 反対称性を満たすため、半順序でもある。

大小関係：

始集合 $A$ から終集合 $B$ に対して単射が存在するとき、 $A$ の濃度は $B$ の濃度以下である。

$\exists f:A\hookrightarrow B\lrArr |A|\le |B|$

始集合 $A$ から終集合 $B$ に対して全射が存在するとき、 $A$ の濃度は $B$ の濃度以上である。

$\exists f:A\twoheadrightarrow B\lrArr |A|\ge |B|$

相等関係：

二つの集合 $A,B$ の間に全単射が成り立つとき、 $A,B$ の濃度は等しい。

$\exists f:A\lrarr B\lrArr |A|=|B|$

二つの集合の濃度に対して、以下の二項演算を定義することができる。

加法：

$\mathfrak a +\mathfrak b = |A\sqcup B|$

乗法：

$\mathfrak a\mathfrak b = |A\times B|$

冪法：

$\mathfrak a^\mathfrak b = |\mathrm{Map}(B,A)|$

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