歪度
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歪度とは
歪度 (英:skewness) とは、分布の非対称性に指標のこと。
\[ \begin{gathered} \alpha_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} \\ \\ \begin{aligned} \mu &: \text{expected value} \\ \sigma &: \text{standard deviation} \\ \end{aligned} \end{gathered} \]
$\alpha_3\gt 0$ なら、右の裾が長く、$\alpha_3\lt 0$ なら、左の裾が長い。
歪度の諸定理
\[ \begin{aligned} \text{(S1)} &: E[(X-\mu)^3] = E(X^3)-3\mu E(X^2) + 2\mu^3 \end{aligned} \]
$\bold{(S1)}$ の証明:
\[ \begin{aligned} E[(X-\mu)^3] &= E(X^3 - 3\mu X^2 + 3\mu^2 X -\mu^3) \\ &= E(X^3) - 3\mu E(X^2) + 3\mu^2E(X) + \mu^3 \\ &= E(X^3) - 3\mu E(X^2) + 2\mu^3 \\ \\ \therefore E[(X-\mu)^3] &= E(X^3)-3\mu E(X^2) + 2\mu^3 \end{aligned} \]