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歪度

#確率論

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歪度とは

歪度 (英：skewness) とは、分布の非対称性に指標のこと。

α3=E[(X−μ)3]σ3μ:expected valueσ:standard deviation \begin{gathered} \alpha_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} \\ \\ \begin{aligned} \mu &: \text{expected value} \\ \sigma &: \text{standard deviation} \\ \end{aligned} \end{gathered}

α3>0\alpha_3\gt 0 なら、右の裾が長く、α3<0\alpha_3\lt 0 なら、左の裾が長い。

歪度の諸定理

(S1):E[(X−μ)3]=E(X3)−3μE(X2)+2μ3 \begin{aligned} \text{(S1)} &: E[(X-\mu)^3] = E(X^3)-3\mu E(X^2) + 2\mu^3 \end{aligned}

(S1)\bold{(S1)} の証明：

E[(X−μ)3]=E(X3−3μX2+3μ2X−μ3)=E(X3)−3μE(X2)+3μ2E(X)+μ3=E(X3)−3μE(X2)+2μ3∴E[(X−μ)3]=E(X3)−3μE(X2)+2μ3 \begin{aligned} E[(X-\mu)^3] &= E(X^3 - 3\mu X^2 + 3\mu^2 X -\mu^3) \\ &= E(X^3) - 3\mu E(X^2) + 3\mu^2E(X) + \mu^3 \\ &= E(X^3) - 3\mu E(X^2) + 2\mu^3 \\ \\ \therefore E[(X-\mu)^3] &= E(X^3)-3\mu E(X^2) + 2\mu^3 \end{aligned}

参考文献

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