楕円
Contents
呼称
- 楕円 (ellipse)
定義
楕円とは、2定点 $F,F^\prime$ からの距離の 和 が一定である点 $P$ から作られる曲線である。点 $F,F^\prime$ を焦点という。
楕円の方程式 (標準形)
原点 $O$ が長軸と短軸の交点となる楕円は次のように書ける。
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}＝1 \quad (a>b>0) \]
- $2a$ : 長軸の長さ
- $2b$ : 短軸の長さ
- $(x,y)$ : 点 $P$ の座標
導出：
焦点 $F,F^\prime$ の座標をそれぞれ、$(c,0),(-c,0)$ とする。
楕円の定義から、$FP+F^\prime P=2a$ により、
\[ \begin{aligned} \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} &= 2a \cr \sqrt{(x+c)^2+y^2} &= 2a - \sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{aligned} \]
両辺を二乗して、整理する。
\[ \begin{aligned} (x+c)^2+y^2 &= 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2 \cr 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} &= 4a^2 + (x-c)^2 - (x+c)^2 \cr &= 4a^2 + (x^2-2cx+c^2) - (x^2+2cx+c^2) \cr &= 4a^2 - 4cx \cr a\sqrt{(x-c)^2+y^2} &= a^2-cx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a^2[(x-c)^2+y^2] &= (a^2-cx)^2 \cr a^2(x^2-2cx+c^2+y^2) &= a^4 -2a^2cx + c^2x^2 \cr a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2 &= a^4 -2a^2cx + c^2x^2 \cr a^2x^2-c^2x^2 + a^2y^2 &= a^4 - a^2c^2 \cr (a^2-c^2)x^2 + a^2y^2 &= a^2(a^2-c^2) \end{aligned} \]
両辺を $a^2 (a^2- c^2)$ で割ると、
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1 \]
点 $P$ が $(0,b)$ 上にあるとき、$FP = F^\prime P = a$ であることから、
\[ b^2 = a^2 - c^2 \]
よって、
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}＝1 \]
楕円の媒介変数表示
\[ \begin{cases} x &= a\cos{\theta} \cr y &= b\sin{\theta} \end{cases} \]
導出：
$\theta$ を媒介変数とすると、
\[ x = a\cos{\theta} \]
楕円の標準形から、対応する $y$ を求める。 \( \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \cr \frac{a^2\cos^2{\theta}}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \cr \frac{y^2}{b^2} &= 1 - \cos^2{\theta} \cr \frac{y^2}{b^2} &= \sin^2{\theta} \cr y &= b\sin{\theta} \end{aligned} \) よって、 \( \begin{cases} x &= a\cos{\theta} \cr y &= b\sin{\theta} \end{cases} \)
なお、点 $P$ の $y_p$ は 点 $Q$ の $y_q$ を $\displaystyle\frac{b}{a}$ 倍したものである。
\[ \begin{aligned} y_p &= b\sin{\theta} \cr y_q &= a\sin{\theta} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_p &= \frac{y_p}{y_q}y_q \cr &= \frac{b\sin{\theta}}{a\sin{\theta}}y_q \cr &= \frac{b}{a}y_q \end{aligned} \]