呼称

• 楕円 (ellipse)

定義

楕円とは、2定点 $F,F^\prime$ からの距離の 和 が一定である点 $P$ から作られる曲線である。点 $F,F^\prime$ を焦点という。

楕円の方程式 (標準形)

原点 $O$ が長軸と短軸の交点となる楕円は次のように書ける。

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}＝1 \quad (a>b>0)$

• $2a$ : 長軸の長さ
• $2b$ : 短軸の長さ
• $(x,y)$ : 点 $P$ の座標

導出：

焦点 $F,F^\prime$ の座標をそれぞれ、$(c,0),(-c,0)$ とする。

楕円の定義から、$FP+F^\prime P=2a$ により、

$\begin{aligned} \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} &= 2a \cr \sqrt{(x+c)^2+y^2} &= 2a - \sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{aligned}$

両辺を二乗して、整理する。

$\begin{aligned} (x+c)^2+y^2 &= 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2 \cr 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} &= 4a^2 + (x-c)^2 - (x+c)^2 \cr &= 4a^2 + (x^2-2cx+c^2) - (x^2+2cx+c^2) \cr &= 4a^2 - 4cx \cr a\sqrt{(x-c)^2+y^2} &= a^2-cx \end{aligned}$

$\begin{aligned} a^2[(x-c)^2+y^2] &= (a^2-cx)^2 \cr a^2(x^2-2cx+c^2+y^2) &= a^4 -2a^2cx + c^2x^2 \cr a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2 &= a^4 -2a^2cx + c^2x^2 \cr a^2x^2-c^2x^2 + a^2y^2 &= a^4 - a^2c^2 \cr (a^2-c^2)x^2 + a^2y^2 &= a^2(a^2-c^2) \end{aligned}$

両辺を $a^2 (a^2- c^2)$ で割ると、

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1$

点 $P$ が $(0,b)$ 上にあるとき、$FP = F^\prime P = a$ であることから、

$b^2 = a^2 - c^2$

よって、

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}＝1$

楕円の媒介変数表示

$\begin{cases} x &= a\cos{\theta} \cr y &= b\sin{\theta} \end{cases}$

導出：

$\theta$ を媒介変数とすると、

$x = a\cos{\theta}$

楕円の標準形から、対応する $y$ を求める。 $\begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \cr \frac{a^2\cos^2{\theta}}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \cr \frac{y^2}{b^2} &= 1 - \cos^2{\theta} \cr \frac{y^2}{b^2} &= \sin^2{\theta} \cr y &= b\sin{\theta} \end{aligned}$ よって、 $\begin{cases} x &= a\cos{\theta} \cr y &= b\sin{\theta} \end{cases}$

なお、点 $P$ の $y_p$ は 点 $Q$ の $y_q$ を $\displaystyle\frac{b}{a}$ 倍したものである。

$\begin{aligned} y_p &= b\sin{\theta} \cr y_q &= a\sin{\theta} \end{aligned}$

$\begin{aligned} y_p &= \frac{y_p}{y_q}y_q \cr &= \frac{b\sin{\theta}}{a\sin{\theta}}y_q \cr &= \frac{b}{a}y_q \end{aligned}$

参考文献

• 楕円 - Wikipedia
• 楕円の知識まとめ（面積・方程式・焦点・接線・媒介変数表示） | 理系ラボ
• 楕円の方程式 - 金沢工業大学