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尖度

#確率論

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尖度とは

尖度 (英：kurtosis) とは、確率分布の鋭さを表す指標のこと。

α4=E[(X−μ)4]σ4μ:expected valueσ:standard deviation \begin{gathered} \alpha_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} \\ \\ \begin{aligned} \mu &: \text{expected value} \\ \sigma &: \text{standard deviation} \\ \end{aligned} \end{gathered}

α4−3<0\alpha_4-3\lt 0 ならば正規分布より尖っており、α4−3<0\alpha_4-3\lt 0 ならば正規分布より丸い形をしている。

そのため、正規分布の尖度を 00 とする定義では、

α4=E(X−μ)4σ4−3 \alpha_4 = \frac{E(X-\mu)^4}{\sigma^4}-3

と定義する。

尖度の諸定理

(K1):E[(X−μ)4]=E(X4)−4μE(X3)+6μ2E(X2)−3μ4 \begin{aligned} \text{(K1)} &: E[(X-\mu)^4] = E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu^2 E(X^2)-3\mu^4 \end{aligned}

(K1)\bold{(K1)} の証明：

E[(X−μ)4]=E(X4−4μX3+6μ2X2−4μ3X+μ4)=E(X4)−4μE(X3)+6μE(X2)−4μ3E(X)+μ4=E(X4)−4μE(X3)+6μE(X2)−3μ4∴E[(X−μ)4]=E(X4)−4μE(X3)+6μ2E(X2)−3μ4 \begin{aligned} E[(X-\mu)^4] &= E(X^4 - 4\mu X^3 + 6\mu^2 X^2 - 4\mu^3 X + \mu^4) \\ &= E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu E(X^2)-4\mu^3 E(X)+\mu^4 \\ &= E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu E(X^2)-3\mu^4 \\ \\ \therefore E[(X-\mu)^4] &= E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu^2 E(X^2)-3\mu^4 \end{aligned}

参考文献

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