尖度
Contents
尖度とは
尖度 (英：kurtosis) とは、確率分布の鋭さを表す指標のこと。
\[ \begin{gathered} \alpha_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} \\ \\ \begin{aligned} \mu &: \text{expected value} \\ \sigma &: \text{standard deviation} \\ \end{aligned} \end{gathered} \]
$\alpha_4-3\lt 0$ ならば正規分布より尖っており、$\alpha_4-3\lt 0$ ならば正規分布より丸い形をしている。
そのため、正規分布の尖度を $0$ とする定義では、
\[ \alpha_4 = \frac{E(X-\mu)^4}{\sigma^4}-3 \]
と定義する。
尖度の諸定理
\[ \begin{aligned} \text{(K1)} &: E[(X-\mu)^4] = E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu^2 E(X^2)-3\mu^4 \end{aligned} \]
$\bold{(K1)}$ の証明：
\[ \begin{aligned} E[(X-\mu)^4] &= E(X^4 - 4\mu X^3 + 6\mu^2 X^2 - 4\mu^3 X + \mu^4) \\ &= E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu E(X^2)-4\mu^3 E(X)+\mu^4 \\ &= E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu E(X^2)-3\mu^4 \\ \\ \therefore E[(X-\mu)^4] &= E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu^2 E(X^2)-3\mu^4 \end{aligned} \]
参考文献
