blue271828's misc :-)

対角行列

#線型代数学

Contents

対角行列とは

対角成分のみが非ゼロである正方行列を対角行列 (英：diagonal matrix) という。

diag(d1,d2,…,dn)=[d10⋯00d2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯dn] \mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n) = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & d_2 & \cdots & 0 \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr 0 & 0 & \cdots & d_n \cr \end{bmatrix}

対角行列の諸定理

(D1):det⁡(diag(d1,d2,…,dn))=∏i=1ndi \begin{aligned} \text{(D1)} &: \det(\mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) = \prod_{i=1}^n d_i \end{aligned}


(D1)\bold{(D1)} の証明：

行列式の定義より、

det⁡(diag(d1,d2,…,dn))=∑σ∈Snsgn(σ)∏i=1nDiσ(i)(D=diag(d1,d2,…,dn)) \begin{aligned} & \det(\mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) \cr &\quad = \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n D_{i\sigma(i)} \quad (D=\mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) \cr \end{aligned}

対角行列の定義により、σ\sigma が恒等置換のときのみ結果に反映されるため、

sgn(σ)∏i=1nDiσ(i)={sgn(σ)∏i=1nDiiif σ is identity permutation0otherwise∴det⁡(diag(d1,d2,…,dn))=∏i=1ndi \begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n D_{i\sigma(i)} \cr &\quad = \begin{cases} \mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n D_{ii} & \text{if }\sigma\text{ is identity permutation} \cr 0 & \text{otherwise} \end{cases} \cr \end{aligned} \cr \cr \therefore \det(\mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) = \prod_{i=1}^n d_i \end{gathered}

関連記事

Tags

#Ansible (3) #Bash (1) #Docker (1) #Git (2) #Hugo (2) #Molecule (1) #Python (1) #WSLtty (1) #アルゴリズム (4) #ビジネス用語 (1) #プログラミング (1) #位相空間論 (8) #初等数学 (20) #初等関数 (1) #実解析 (1) #幾何学 (3) #微分積分学 (18) #情報理論 (4) #抽象代数学 (14) #数理モデル (2) #数理論理学 (21) #機械学習 (3) #正規表現 (1) #測度論 (3) #特殊関数 (4) #確率論 (18) #組合せ論 (5) #統計学 (12) #線型代数学 (18) #複素解析学 (4) #解析学 (15) #論理学 (6) #順序集合論 (9)