対数関数とは

対数関数 (英：logarithmic function) とは、冪演算の底と冪から冪指数を得る関数。対数関数により得られる対象を対数という。

$\log_b x=y, ~x=b^y \quad (b,x\in\R_{++}, ~y\in\R, ~b\ne 1)$

対数法則

積の対数

$\log_b x_1x_2 =\log_b x_1 + \log_b x_2$

積の対数の導出：

$y_n = \log_b x_n$ とすると、

$x_n = b^{y_n} \tag{1}$

$(1)$ により、

$\begin{aligned} \log_b x_1 x_2 &= \log_b(b^{y_1}b^{y_2}) \cr &= \log_b(b^{y_1+y_2}) \cr &= y_1+y_2 \cr &= \log_b x_1 + \log_b x_2 \cr \cr \therefore \log_b x_1 x_2 &= \log_b x_1 + \log_b x_2 \end{aligned}$

商の対数

$\log_b{\frac{x_1}{x_2}} = \log_b{x_1} - \log_b{x_2}$

商の対数の導出：

$y_n = \log_b x_n$ とすると、

$x_n = b^{y_n} \tag{1}$

$(1)$ により、

$\begin{aligned} \log_b{\frac{x_1}{x_2}} &= \log_b\frac{b^{y_1}}{b^{y_2}} \cr &= \log_b b^{y_1-y_2} \cr &= y_1-y_2 \cr &= \log_b x_1 - \log_b x_2 \cr \cr \therefore \log_b \frac{x_1}{x_2} &= \log_b x_1 - \log_b x_2 \end{aligned}$

冪の対数

$\log_b{x^p} = p\log_b{x}$

冪の対数の導出：

$y = \log_b x$ とすると、

$x = b^{y} \tag{1}$

$(1)$ により、

$\begin{aligned} \log_b{x^p} &= \log_b{(b^{y})^p} \cr &= \log_b{b^{py}} \cr &= py \cr &= p\log_b{x} \cr \cr \therefore \log_b{x^p} &= p\log_b{x} \end{aligned}$

底の変換

$\log_b{x} = \frac{\log_c{x}}{\log_c{b}}$

底の変換の導出：

$y = \log_b x$ とすると、

$x = b^{y} \tag{1}$

$(1)$ と冪の対数の公式から、

$\begin{aligned} \frac{\log_c{x}}{\log_c{b}} &= \frac{\log_c{b^y}}{\log_c{b}} \cr &= \frac{y\log_c{b}}{\log_c{b}} \cr &= y \cr &= \log_b{x} \cr \cr \therefore \log_b{x} &= \frac{\log_c{x}}{\log_c{b}} \end{aligned}$

自然対数関数

自然対数関数 (英：natural logarithmic function) とは、ネイピア数を底とする対数関数のこと。

$\ln x = \log_e x$

自然対数関数の微分

$(\ln{x})^\prime = \frac{1}{x}$

自然対数関数の微分の導出：

$\begin{aligned} (\ln{x})^\prime &= \lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\ln{(x+\Delta x)}-\ln{x}}{\Delta x}} \cr &= \lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{1}{\Delta x}\ln{\frac{x+\Delta x}{x}}\right) \cr &= \frac{1}{x}\lim_{\Delta x\to 0}{\left[\frac{x}{\Delta x}\ln{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}\right]} \end{aligned}$

$\displaystyle t=\frac{\Delta x}{x}$ とすると、

$\begin{aligned} (\ln{x})^\prime &= \frac{1}{x}\lim_{t\to 0}\left[\frac{1}{t}\ln{(1+t)}\right] \cr &= \frac{1}{x}\lim_{t\to 0}\ln{(1+t)^\frac{1}{t}} \end{aligned}$

ネイピア数の定義により、

$\begin{aligned} (\ln{x})^\prime &= \frac{1}{x}\ln{e} \cr &= \frac{1}{x} \cr \cr \therefore (\ln{x})^\prime &= \frac{1}{x} \end{aligned}$

対数関数の微分

$(\log_b{x})^\prime = \frac{1}{x\ln{b}}$

対数関数の微分の導出：

$\begin{aligned} (\log_b{x})^\prime &= \left(\frac{\ln{x}}{\ln{b}}\right)^\prime \cr &= \frac{1}{\ln{b}}(\ln{x})^\prime \end{aligned}$

自然対数関数の微分の公式から、

$\begin{aligned} (\log_b{x})^\prime &= \frac{1}{\ln{b}}\cdot\frac{1}{x} \cr &= \frac{1}{x\ln{b}} \cr \cr \therefore (\log_b{x})^\prime &= \frac{1}{x\ln{b}} \end{aligned}$

対数関数の不定積分

$\int\log_b x~dx = x\log_b x - \frac{x}{\ln b} +C$

対数関数の不定積分の導出：

$\begin{aligned} \int\log_a x~dx &= \int(x)^\prime\log_a x ~dx \cr &= x\log_b x - \int x(\log_b x)^\prime ~dx \cr &= x\log_b x - \int \frac{1}{\ln b} ~dx \cr &= x\log_b x - \frac{x}{\ln b} + C \cr \cr \therefore \int\log_b x ~dx &= x\log_b x - \frac{x}{\ln b} + C \end{aligned}$

関連記事

• 微分
• ネイピア数
• 部分積分