対数関数
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対数関数とは
対数関数 (英：logarithmic function) とは、冪演算の底と冪から冪指数を得る関数。対数関数により得られる対象を対数という。
\[ \log_b x=y, ~x=b^y \quad (b,x\in\R_{++}, ~y\in\R, ~b\ne 1) \]
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $\log$ | 対数関数 |
| $b$ | 底 (base) |
| $x$ | 真数 (antilogarithm) |
| $\log_b x$ | 対数 |
対数法則
積の対数
\[ \log_b x_1x_2 =\log_b x_1 + \log_b x_2 \]
積の対数の導出：
$y_n = \log_b x_n$ とすると、
\[ x_n = b^{y_n} \tag{1} \]
$(1)$ により、
\[ \begin{aligned} \log_b x_1 x_2 &= \log_b(b^{y_1}b^{y_2}) \cr &= \log_b(b^{y_1+y_2}) \cr &= y_1+y_2 \cr &= \log_b x_1 + \log_b x_2 \cr \cr \therefore \log_b x_1 x_2 &= \log_b x_1 + \log_b x_2 \end{aligned} \]
商の対数
\[ \log_b{\frac{x_1}{x_2}} = \log_b{x_1} - \log_b{x_2} \]
商の対数の導出：
$y_n = \log_b x_n$ とすると、
\[ x_n = b^{y_n} \tag{1} \]
$(1)$ により、
\[ \begin{aligned} \log_b{\frac{x_1}{x_2}} &= \log_b\frac{b^{y_1}}{b^{y_2}} \cr &= \log_b b^{y_1-y_2} \cr &= y_1-y_2 \cr &= \log_b x_1 - \log_b x_2 \cr \cr \therefore \log_b \frac{x_1}{x_2} &= \log_b x_1 - \log_b x_2 \end{aligned} \]
冪の対数
\[ \log_b{x^p} = p\log_b{x} \]
冪の対数の導出：
$y = \log_b x$ とすると、
\[ x = b^{y} \tag{1} \]
$(1)$ により、
\[ \begin{aligned} \log_b{x^p} &= \log_b{(b^{y})^p} \cr &= \log_b{b^{py}} \cr &= py \cr &= p\log_b{x} \cr \cr \therefore \log_b{x^p} &= p\log_b{x} \end{aligned} \]
底の変換
\[ \log_b{x} = \frac{\log_c{x}}{\log_c{b}} \]
底の変換の導出：
$y = \log_b x$ とすると、
\[ x = b^{y} \tag{1} \]
$(1)$ と冪の対数の公式から、
\[ \begin{aligned} \frac{\log_c{x}}{\log_c{b}} &= \frac{\log_c{b^y}}{\log_c{b}} \cr &= \frac{y\log_c{b}}{\log_c{b}} \cr &= y \cr &= \log_b{x} \cr \cr \therefore \log_b{x} &= \frac{\log_c{x}}{\log_c{b}} \end{aligned} \]
自然対数関数
自然対数関数 (英：natural logarithmic function) とは、ネイピア数を底とする対数関数のこと。
\[ \ln x = \log_e x \]
自然対数関数の微分
\[ (\ln{x})^\prime = \frac{1}{x} \]
自然対数関数の微分の導出：
\[ \begin{aligned} (\ln{x})^\prime &= \lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\ln{(x+\Delta x)}-\ln{x}}{\Delta x}} \cr &= \lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{1}{\Delta x}\ln{\frac{x+\Delta x}{x}}\right) \cr &= \frac{1}{x}\lim_{\Delta x\to 0}{\left[\frac{x}{\Delta x}\ln{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}\right]} \end{aligned} \]
$\displaystyle t=\frac{\Delta x}{x}$ とすると、
\[ \begin{aligned} (\ln{x})^\prime &= \frac{1}{x}\lim_{t\to 0}\left[\frac{1}{t}\ln{(1+t)}\right] \cr &= \frac{1}{x}\lim_{t\to 0}\ln{(1+t)^\frac{1}{t}} \end{aligned} \]
ネイピア数の定義により、
\[ \begin{aligned} (\ln{x})^\prime &= \frac{1}{x}\ln{e} \cr &= \frac{1}{x} \cr \cr \therefore (\ln{x})^\prime &= \frac{1}{x} \end{aligned} \]
対数関数の微分
\[ (\log_b{x})^\prime = \frac{1}{x\ln{b}} \]
対数関数の微分の導出：
\[ \begin{aligned} (\log_b{x})^\prime &= \left(\frac{\ln{x}}{\ln{b}}\right)^\prime \cr &= \frac{1}{\ln{b}}(\ln{x})^\prime \end{aligned} \]
自然対数関数の微分の公式から、
\[ \begin{aligned} (\log_b{x})^\prime &= \frac{1}{\ln{b}}\cdot\frac{1}{x} \cr &= \frac{1}{x\ln{b}} \cr \cr \therefore (\log_b{x})^\prime &= \frac{1}{x\ln{b}} \end{aligned} \]
対数関数の不定積分
\[ \int\log_b x~dx = x\log_b x - \frac{x}{\ln b} +C \]
対数関数の不定積分の導出：
\[ \begin{aligned} \int\log_a x~dx &= \int(x)^\prime\log_a x ~dx \cr &= x\log_b x - \int x(\log_b x)^\prime ~dx \cr &= x\log_b x - \int \frac{1}{\ln b} ~dx \cr &= x\log_b x - \frac{x}{\ln b} + C \cr \cr \therefore \int\log_b x ~dx &= x\log_b x - \frac{x}{\ln b} + C \end{aligned} \]