対数関数とは
対数関数 (英:logarithmic function) とは、冪演算の底と冪から冪指数を得る関数。対数関数により得られる対象を対数という。
logbx=y, x=by(b,x∈R++, y∈R, b=1)
記号 |
意味 |
log |
対数関数 |
b |
底 (base) |
x |
真数 (antilogarithm) |
logbx |
対数 |
対数法則
積の対数
logbx1x2=logbx1+logbx2
積の対数の導出:
yn=logbxn とすると、
xn=byn(1)
(1) により、
logbx1x2∴logbx1x2=logb(by1by2)=logb(by1+y2)=y1+y2=logbx1+logbx2=logbx1+logbx2
商の対数
logbx2x1=logbx1−logbx2
商の対数の導出:
yn=logbxn とすると、
xn=byn(1)
(1) により、
logbx2x1∴logbx2x1=logbby2by1=logbby1−y2=y1−y2=logbx1−logbx2=logbx1−logbx2
冪の対数
logbxp=plogbx
冪の対数の導出:
y=logbx とすると、
x=by(1)
(1) により、
logbxp∴logbxp=logb(by)p=logbbpy=py=plogbx=plogbx
底の変換
logbx=logcblogcx
底の変換の導出:
y=logbx とすると、
x=by(1)
(1) と冪の対数の公式から、
logcblogcx∴logbx=logcblogcby=logcbylogcb=y=logbx=logcblogcx
自然対数関数
自然対数関数 (英:natural logarithmic function) とは、ネイピア数を底とする対数関数のこと。
lnx=logex
自然対数関数の微分
(lnx)′=x1
自然対数関数の微分の導出:
(lnx)′=Δx→0limΔxln(x+Δx)−lnx=Δx→0lim(Δx1lnxx+Δx)=x1Δx→0lim[Δxxln(1+xΔx)]
t=xΔx とすると、
(lnx)′=x1t→0lim[t1ln(1+t)]=x1t→0limln(1+t)t1
ネイピア数の定義により、
(lnx)′∴(lnx)′=x1lne=x1=x1
対数関数の微分
(logbx)′=xlnb1
対数関数の微分の導出:
(logbx)′=(lnblnx)′=lnb1(lnx)′
自然対数関数の微分の公式から、
(logbx)′∴(logbx)′=lnb1⋅x1=xlnb1=xlnb1
対数関数の不定積分
∫logbx dx=xlogbx−lnbx+C
対数関数の不定積分の導出:
∫logax dx∴∫logbx dx=∫(x)′logax dx=xlogbx−∫x(logbx)′ dx=xlogbx−∫lnb1 dx=xlogbx−lnbx+C=xlogbx−lnbx+C
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