商の微分法則

#解析学

Contents

呼称

商の微分法則 (quotient rule)

概要

微分積分学における商の微分法則とは、二つの可微分関数の商の導関数を求めるのに用いる公式。

公式

$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^\prime = \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2}$

導出

$\begin{aligned} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^\prime &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left[\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right] \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)} \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{g(x+h)g(x)} \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{[f(x+h)-f(x)]g(x)-f(x)[g(x+h)-g(x)]}{g(x+h)g(x)} \cr &= \lim_{h\to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}-\frac{f(x)} {g(x+h)g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right] \cr &= \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2} \cr \cr \therefore \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^\prime &= \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2} \end{aligned}$

文献

Tags

#Ansible (3) #Bash (1) #Docker (1) #Git (2) #Hugo (2) #Molecule (1) #Python (1) #WSLtty (1) #アルゴリズム (4) #ビジネス用語 (1) #プログラミング (1) #位相空間論 (8) #初等数学 (20) #初等関数 (1) #実解析 (1) #幾何学 (3) #微分積分学 (18) #情報理論 (4) #抽象代数学 (14) #数理モデル (2) #数理論理学 (21) #機械学習 (3) #正規表現 (1) #測度論 (3) #特殊関数 (4) #確率論 (18) #組合せ論 (5) #統計学 (12) #線型代数学 (18) #複素解析学 (4) #解析学 (15) #論理学 (6) #順序集合論 (9)