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同位の無限小

#解析学

Contents

呼称

概要

$a$ において無限小となる二つの一変数函数 $f(x),g(x)$ について、「$a$ において、$f(x),g(x)$ が同位の無限小である」とは、$x\to a$ としたときに $f(x) / g(x)$ が $0$ 以外の定数に近づくことをいう。

定義

一次函数 $f(x),g(x)$ について、「$a$ において、$f(x),g(x)$ が同位の無限小である」とは、次式を満たすことである。

\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to c(x\to a)\right] \land \left[c\ne 0\right] \]

右極限の場合

$f(x),g(x)$ の無限小が $x\to +a$ を意味する場合、「$a$ において、$f(x),g(x)$ が同位の無限小である」は、次式を満たすことを指す。

\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to +a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to +a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to c(x\to +a)\right] \land \left[c\ne 0\right] \]

左極限の場合

$f(x),g(x)$ の無限小が $x\to -a$ を意味する場合、「$a$ において、$f(x),g(x)$ が同位の無限小である」は、次式を満たすことを指す。

\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to -a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to -a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to c(x\to -a)\right] \land \left[c\ne 0\right] \]

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