同位の無限小
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呼称
- 同位の無限小, 同次の無限小 (same order)
概要
$a$ において無限小となる二つの一変数函数 $f(x),g(x)$ について、「$a$ において、$f(x),g(x)$ が同位の無限小である」とは、$x\to a$ としたときに $f(x) / g(x)$ が $0$ 以外の定数に近づくことをいう。
定義
一次函数 $f(x),g(x)$ について、「$a$ において、$f(x),g(x)$ が同位の無限小である」とは、次式を満たすことである。
\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to c(x\to a)\right] \land \left[c\ne 0\right] \]
右極限の場合
$f(x),g(x)$ の無限小が $x\to +a$ を意味する場合、「$a$ において、$f(x),g(x)$ が同位の無限小である」は、次式を満たすことを指す。
\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to +a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to +a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to c(x\to +a)\right] \land \left[c\ne 0\right] \]
左極限の場合
$f(x),g(x)$ の無限小が $x\to -a$ を意味する場合、「$a$ において、$f(x),g(x)$ が同位の無限小である」は、次式を満たすことを指す。
\[ \left[f(x)\to 0 ~(x\to -a)\right] \land \left[g(x)\to 0 ~(x\to -a)\right] \land \left[\frac{f(x)}{g(x)}\to c(x\to -a)\right] \land \left[c\ne 0\right] \]