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合成写像

#数理論理学 #微分積分学

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合成写像とは

写像 $f:A\to B$ と写像 $g:C\to D$ が与えられたとき、$B\sube C$ なら元 $a\in A$ に対して $g(f(a))$ が定義できる。このとき、この写像 $f,g$ により対応付けられる写像 $f\circ g$ を合成写像 (英：composite map) という。また $f,g$ の値域が何かしらの数の集合であるとき、$f\circ g$ は合成関数 (英：composite function) とも呼ばれる。

\[ (f\circ g)(A) = f(g(A)) \]

合成関数の微分

\[ \big[f(g(x))\big]^\prime = f^\prime(g(x))g^\prime(x) \]


合成関数の微分の導出：

\[ \begin{aligned} \big[f(g(x))\big]^\prime &= \lim_{\varDelta x\to 0}\frac{f(g(x+\varDelta x))-f(g(x))}{\varDelta x} \\ &= \lim_{\varDelta x\to 0}\left[\frac{f(g(x+\varDelta x))-f(g(x))}{g(x+\varDelta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\varDelta x)-g(x)}{\varDelta x}\right] \\ &= \lim_{\varDelta y\to 0}\frac{f(y+\varDelta y)-f(y)}{\varDelta y}\lim_{\varDelta x\to 0}\frac{g(x+\varDelta x)-g(x)}{\varDelta x} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \because y=g(x),\varDelta y = g(x+\varDelta x)-g(x) \\ &= f^\prime(y)g^\prime(x) \vphantom{\int} \\ \\ \therefore \big[f(g(x))\big]^\prime &= f^\prime(g(x))g^\prime(x) \vphantom{\int} \\ \end{aligned} \]

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