双曲線
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呼称
- 双曲線 (hyperbola)
定義
双曲線とは、二定点 $F,F^\prime$ からの距離の 差 が一定である点 $P$ から作られる曲線である。点 $F,F^\prime$ を焦点という。
双曲線の方程式 (標準形)
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>0,~b>0) \]
- $a$ : 双曲線と $x$ 軸の交点の原点 $O$ からの距離
- $b$ : $(0,b)$ を $B$ , $(a,0)$ を $A$ としたとき、$OF^\prime=AB$ となるような $b$ の値
- $(x,y)$ : 点 $P$ の座標
導出：
焦点 $F,F^\prime$ の座標をそれぞれ、$(c,0),(-c,0)$ とする。
双曲線の定義から、$|FP-F^\prime P|=2a$ より、
\[ \begin{aligned} \left|\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right| &= 2a \cr \sqrt{(x+c)^2+y^2} &= \pm{2a} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{aligned} \]
両辺を二乗して、整理する。
\[ \begin{aligned} (x+c)^2 + y^2 &= 4a^2 \pm 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2 + y^2 \cr \pm{4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}} &= -4a^2 - (x-c)^2 + (x+c)^2 \cr &= -4a^2 - (x^2-2cx+c^2) + (x^2+2cx+c^2) \cr &= -4a^2 + 4cx \cr \pm{a\sqrt{(x-c)+y^2}} &= -a^2 + cx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a^2\{(x-c)^2+y^2\} &= (-a^2+cx)^2 \cr a^2(x^2-2cx+c^2+y^2) &= a^4 - 2a^2cx + c^2x^2 \cr a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2 &= a^4 - 2a^2cx + c^2x^2 \cr a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2 &= a^4 + c^2x^2 \cr a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2 &= a^4-a^2c^2 \cr (a^2-c^2)x^2 + a^2y^2 &= a^2(a^2-c^2) \end{aligned} \]
両辺を $a^2 (a^2 - c^2)$ で割ると、
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2} = 1 \]
$b$ は $(0,b)$ を $B$ , $(a,0)$ を $A$ としたとき、$OF^\prime=AB$ となるような $b$ の値であることから、
\[ b^2 = c^2 - a^2 \]
よって、
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1 \]
双曲線の媒介変数表示
\[ \begin{cases} x &= \displaystyle\frac{a}{\cos{\theta}} \cr y &= b\tan{\theta} \end{cases} \]
導出：
上図において $\angle{Q}=90^\circ$ を満たす $\theta$ を媒介変数とする。これにより、
\[ x = \frac{a}{\cos{\theta}} \]
双曲線の標準形から、対応する $y$ を求める。
\[ \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} &= 1 \cr \frac{1}{a^2}\cdot\frac{a^2}{\cos^2{\theta}} - \frac{y^2}{b^2} &= 1 \cr \frac{1}{\cos^2{\theta}} &= 1 + \frac{y^2}{b^2} \cr \frac{y}{b} &= \tan{\theta} \cr y &= b\tan{\theta} \end{aligned} \]
よって、
\[ \begin{cases} x &= \displaystyle\frac{a}{\cos{\theta}} \cr y &= b\tan{\theta} \end{cases} \]