双曲線関数
Contents
双曲線関数とは
双曲線関数 (英：hyperbolic function) とは、単位円に対応する双曲線に関わる次図面積を $\displaystyle \frac{\theta}{2}$ とした際の各関数を指す。なお次図の場合、$x=\cosh \theta, ~y=\sinh \theta$ で定義される。
双曲線余弦関数
\[ \cosh\theta = \frac{e^\theta+e^{-\theta}}{2} \]
双曲線余弦関数の導出：
上図より、
\[ \frac{\theta}{2} = \frac{x\sqrt{x^2-1}}{2} - \int_1^x\sqrt{t^2-1}dt \quad \because x^2-y^2=1 \tag{1} \]
右項の不定積分を $F$ とすると、
\[ \begin{aligned} F(t) &= \int\sqrt{t^2-1}dt \cr &= \int(t)^\prime\sqrt{t^2-1}dt \cr &= t\sqrt{t^2-1} - \int{t\left(\sqrt{t^2-1}\right)^\prime dt} \cr &= t\sqrt{t^2-1} - \int{\frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}} dt} \cr &= t\sqrt{t^2-1} - \int{\frac{(t^2-1)+1}{\sqrt{t^2-1}} dt} \cr &= t\sqrt{t^2-1} - \int{\sqrt{t^2-1}dt} - \int{\frac{1}{\sqrt{t^2-1}} dt} \cr &= t\sqrt{t^2-1} - F(t) - \ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right| + C \cr 2F(t) &= t\sqrt{t^2-1} - \ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right| + C \cr F(t) &= \frac{1}{2}\left(t\sqrt{t^2-1}-\ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right| + C\right) \end{aligned} \tag{2} \]
$(1),(2)$ から、
\[ \begin{aligned} \frac{\theta}{2} &= \frac{x\sqrt{x^2-1} }{2} - \int_1^x\sqrt{t^2-1}dt \cr &= \frac{x\sqrt{x^2-1} }{2} - F(x) + F(1) \cr &= \frac{x\sqrt{x^2-1} }{2} - \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2-1}-\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|\right) \cr &= \frac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right| \cr \theta &= \ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right| \cr e^\theta &= x+\sqrt{x^2-1} \end{aligned} \tag{3} \]
$(3)$ から、$e^{-\theta}$ を得る。
\[ \begin{aligned} e^{-\theta} &= \frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}} \cr &= \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)} \cr &= x-\sqrt{x^2-1} \end{aligned} \tag{4} \]
$(3),(4)$ より、
\[ \begin{aligned} e^\theta + e^{-\theta} &= 2x \cr x &= \frac{e^\theta+e^{-\theta}}{2} \cr \cr \therefore \cosh\theta = \frac{e^\theta+e^{-\theta}}{2} \end{aligned} \]
双曲線正弦関数
\[ \sinh\theta = \frac{e^\theta-e^{-\theta}}{2} \]
双曲線正弦関数の導出：
双曲線余弦関数の導出から、
\[ \begin{aligned} e^\theta - e^{-\theta} &= 2\sqrt{x^2-1} \cr &= 2y \quad \because x^2-y^2=1 \cr y &= \frac{e^\theta-e^{-\theta}}{2} \cr \cr \therefore \sinh\theta &= \frac{e^\theta-e^{-\theta}}{2} \end{aligned} \]