blue271828's misc :-)

冪関数

#解析学

Contents

概要

冪関数 (power function) とは、冪演算の底と冪指数から冪を得る関数。

冪関数

定義：

\[ f_a : x\mapsto x^a \]

冪関数の微分

公式：

\[ (x^a)^\prime = ax^{a-1} \]

導出：

\[ \begin{aligned} f(x) &= x^a \cr \ln f(x) &= \ln x^a \cr \left(\ln f(x)\right)^\prime &= (a\ln x)^\prime \cr \frac{f^\prime(x)}{f(x)} &= \frac{a}{x} \cr f^\prime(x) &= \frac{af(x)}{x} \cr &= ax^{a-1} \cr \cr \therefore (x^a)^\prime &= ax^{a-1} \end{aligned} \]

冪関数の不定積分

公式：

\[ \int{x^a}dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \]

導出：

冪関数の微分により、

\[ \begin{aligned} \therefore \int{x^a}dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \end{aligned} \]

関連記事

参考文献

Tags

#Ansible (3) #Bash (1) #Docker (1) #Git (2) #Hugo (2) #Molecule (1) #Python (1) #WSLtty (1) #アルゴリズム (4) #ビジネス用語 (1) #プログラミング (1) #位相空間論 (8) #初等数学 (20) #初等関数 (1) #実解析 (1) #幾何学 (3) #微分積分学 (18) #情報理論 (4) #抽象代数学 (14) #数理モデル (2) #数理論理学 (21) #機械学習 (3) #正規表現 (1) #測度論 (3) #特殊関数 (4) #確率論 (18) #組合せ論 (5) #統計学 (12) #線型代数学 (18) #複素解析学 (4) #解析学 (15) #論理学 (6) #順序集合論 (9)