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位相空間

#位相空間論

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位相空間

全体集合 XX と XX の部分集合族 O\mathcal O の組 (X,O)(X,\mathcal O) が位相空間 (英：topological space) であるとは、以下の公理を満たすことをいう。このとき、O\mathcal O を XX の開集合系 (英：open sets) といい、O\mathcal O によって定まる数学的構造を位相 (英：topology) という。また位相空間においてXX は空間 (英：space)、XX の元は点 (英：point) と呼ばれる。

(OA1):∅,X∈O(OA2):O1,…,On∈O⇒⋂i=1nOi∈O(OA3):Oλ∈Λ∈O⇒⋃λ∈ΛOλ∈O \begin{aligned} \text{(OA1)} &: \empty,X \in \mathcal{O} \cr \text{(OA2)} &: O_1,\ldots,O_n \in \mathcal{O} \rArr \bigcap_{i=1}^n O_i \in \mathcal{O} \cr \text{(OA3)} &: O_{\lambda\in\varLambda}\in\mathcal{O} \rArr \bigcup_{\lambda \in \varLambda} O_\lambda \in \mathcal{O} \end{aligned}

これらの公理は開集合の公理 (英：open set axioms) と呼ばれる。また位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) が与えられたとき、開集合の補集合 O∁O^\complement を閉集合 (英：closed set) 、O∁O^\complement を含む XX の部分集合系 F\mathfrak F を閉集合系 (英：closed sets) という。

O∁=X∖O(O∁∈F) O^\complement = X\setminus O \quad (O^\complement\in\mathfrak F)

また閉集合系は、公理を用いて以下のように定義付けることもできる。

(CA1):∅,X∈F(CA2):F1,…,Fn∈F⇒⋃i=1nFi∈F(CA3):Fλ∈Λ∈F⇒⋂λ∈ΛFλ∈F \begin{aligned} \text{(CA1)} &: \empty,X\in\mathcal F \cr \text{(CA2)} &: F_1,\ldots,F_n\in\mathcal F\rArr\bigcup_{i=1}^n F_i\in\mathcal F \cr \text{(CA3)} &: F_{\lambda\in\varLambda}\in\mathcal F\rArr\bigcap_{\lambda\in\varLambda}F_\lambda\in\mathcal F \cr \end{aligned}

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