ロルの定理
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呼称
- ロルの定理 (Rolle’s theorem)
概要
ロルの定理とは、微分可能な実函数が相違なる二点で同じ値をとるとき、二点間にグラフの傾きが $0$ になるところがあるという定理。
定理
有界閉区間 $[a,b]$ 上で定義された連続関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ で微分可能であり、
\[ f(a) = f(b) \]
を満たすとき、次式を満たす $c\in(a,b)$ が存在する。
\[ f^\prime({c}) = 0 \]
証明
函数 $f(x)$ が定数の場合、導関数 $f^\prime({c})$ は任意の $x\in (a,b)$ に対して $f^\prime({c})=0$ を満たす。
\[ \begin{aligned} f^\prime({c}) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(x)}{h} \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{0}{h} \cr &= 0 \end{aligned} \]
函数 $f(x)$ が定数ではない場合、$f(c)\ne f(a)$ となる $c\in [a,b]$ が存在する。函数 $f(x)$ は有界閉区間 $[a,b]$ で連続であるため、最大値・最小値の定理により $f(x)$ は $[a,b]$ で最大値および最小値をとる。
$f(c)\gt f(a)$ の場合、開区間 $(a,b)$ において $f(x)$ が微分可能であることから、
\[ \begin{aligned} f^\prime_+({c}) &= \lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f({c})}{h} \le 0 \cr f^\prime_-({c}) &= \lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f({c})}{h} \ge 0 \end{aligned} \]
となり、 $f^\prime({c})=0$ である。
$f(c)\lt f(a)$ の場合も同様に、
\[ \begin{aligned} f^\prime_+({c}) &= \lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f({c})}{h} \ge 0 \cr f^\prime_-({c}) &= \lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f({c})}{h} \le 0 \end{aligned} \]
となり、 $f^\prime({c})=0$ である。
いずれの場合でも $f^\prime({c})=0$ となる $c\in(a,b)$ が存在する。
よって、有界閉区間 $[a,b]$ 上で定義された連続関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ で微分可能であり、
\[ f(a) = f(b) \]
を満たすとき、次式を満たす $c\in(a,b)$ が存在する。
\[ f^\prime({c}) = 0 \]