ロルの定理

#解析学

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呼称

ロルの定理 (Rolle’s theorem)

概要

ロルの定理とは、微分可能な実函数が相違なる二点で同じ値をとるとき、二点間にグラフの傾きが $0$ になるところがあるという定理。

定理

有界閉区間 $[a,b]$ 上で定義された連続関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ で微分可能であり、

$f(a) = f(b)$

を満たすとき、次式を満たす $c\in(a,b)$ が存在する。

$f^\prime({c}) = 0$

証明

函数 $f(x)$ が定数の場合、導関数 $f^\prime({c})$ は任意の $x\in (a,b)$ に対して $f^\prime({c})=0$ を満たす。

$\begin{aligned} f^\prime({c}) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(x)}{h} \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{0}{h} \cr &= 0 \end{aligned}$

函数 $f(x)$ が定数ではない場合、 $f(c)\ne f(a)$ となる $c\in [a,b]$ が存在する。函数 $f(x)$ は有界閉区間 $[a,b]$ で連続であるため、最大値・最小値の定理により $f(x)$ は $[a,b]$ で最大値および最小値をとる。

$f(c)\gt f(a)$ の場合、開区間 $(a,b)$ において $f(x)$ が微分可能であることから、

$\begin{aligned} f^\prime_+({c}) &= \lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f({c})}{h} \le 0 \cr f^\prime_-({c}) &= \lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f({c})}{h} \ge 0 \end{aligned}$

となり、 $f^\prime({c})=0$ である。

$f(c)\lt f(a)$ の場合も同様に、

$\begin{aligned} f^\prime_+({c}) &= \lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f({c})}{h} \ge 0 \cr f^\prime_-({c}) &= \lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f({c})}{h} \le 0 \end{aligned}$

となり、 $f^\prime({c})=0$ である。

いずれの場合でも $f^\prime({c})=0$ となる $c\in(a,b)$ が存在する。

よって、有界閉区間 $[a,b]$ 上で定義された連続関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ で微分可能であり、

$f(a) = f(b)$

を満たすとき、次式を満たす $c\in(a,b)$ が存在する。

$f^\prime({c}) = 0$

参考文献

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