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ロジスティック関数

#特殊関数

Contents

呼称

概要

ロジスティック関数とは、ロジスティック方程式の解のこと。

定義

一般には x0x_0 をパラメタとした次の定義がロジスティック関数として知られている。

f(x)=L1+e−k(x−x0) f(x) = \frac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}}

パラメタ 値域 説明
LL L∈R, 0≤LL\in\R, ~0\le L f(x)f(x) が取りうる最大値
kk k∈Rk\in\R 成長率
x0x_0 x0∈Rx_0\in\R f(x0)=L2\displaystyle f(x_0) = \frac{L}{2}

導出：

ロジスティック方程式の解の導出から、

P(t)=K1+K−P0P0exp⁡(−rt)(1) P(t) = \frac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt)} \tag{1}

P(t0)=K2\displaystyle P(t_0)=\frac{K}{2} とすると、

P(t0)=K1+K−P0P0exp⁡(−rt0)=K21+K−P0P0exp⁡(−rt0)=2K−P0P0exp⁡(−rt0)=1exp⁡(−rt0)=P0K−P0exp⁡(rt0)=K−P0P0(2) \begin{aligned} P(t_0) = \frac{K}{1+\frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt_0)} &= \frac{K}{2} \cr 1 + \frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt_0) &= 2 \cr \frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt_0) &= 1 \cr \exp(-rt_0) &= \frac{P_0}{K-P_0} \cr \exp(rt_0) &= \frac{K-P_0}{P_0} \end{aligned} \tag{2}

(1),(2)(1),(2) より、

P(t)=K1+K−P0P0exp⁡(−rt)=K1+exp⁡(rt0)exp⁡(−rt)=K1+exp⁡(−r(t−t0))∴f(x)=L1+e−r(x−x0) \begin{aligned} P(t) &= \frac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt)} \cr &= \frac{K}{1 + \exp(rt_0)\exp(-rt)} \cr &= \frac{K}{1+\exp(-r(t-t_0))} \cr \cr \therefore f(x) &= \frac{L}{1+e^{-r(x-x_0)}} \end{aligned}

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参考文献

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