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ベクトル空間

#線型代数学

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ベクトル空間とは

係数体 (英：scalar filed) 上のベクトル空間 (英：vector space) とは、以下の性質を満たす二種類の演算を持った代数的構造のこと。ベクトル空間の元をベクトル (英：vector) といい、係数体の元をスカラー (英：scalar) という。

スカラー:a∈Kベクトル:x∈V(x=[x1x2⋮xn])K:係数体V:ベクトル空間上の集合 \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \begin{aligned} \text{スカラー} &: a\in K \\ \text{ベクトル} &: \b x\in V \quad \left(\b x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{bmatrix}\right) \\ \end{aligned} \\ \\ \begin{aligned} K &: \text{係数体} \\ V &: \text{ベクトル空間上の集合} \\ \end{aligned} \end{gathered}

規則 意味
加法の閉性 (x+y)∈V(x,y∈V)(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) \in V \quad (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V)
加法の結合律 x+(y+z)=(x+y)+z\boldsymbol{x} + (\boldsymbol{y} + \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) + \boldsymbol{z}
加法の単位元の存在 ∃0+x=x\exists\boldsymbol{0} + \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}
加法の逆元の存在 ∃(−x)+x=0\exists(-\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{x} = \bold{0}
加法の可換律 x+y=y+x\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = \boldsymbol{y} + \boldsymbol{x}
スカラー倍の閉性 ax∈V(a∈K, x∈V)a \boldsymbol{x} \in V \quad (a\in K, ~\boldsymbol{x}\in V)
スカラー倍の結合律 a(bx)=(ab)xa(b \boldsymbol{x}) = (ab) \boldsymbol{x}
スカラー倍の零元の存在 ∃0⋅x=0\exists 0 \cdot \boldsymbol{x} = \bold{0}
スカラー倍の単位元の存在 ∃1⋅x=x\exists 1 \cdot \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}
スカラー倍と加法の分配律 a(x+y)=ax+aya (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = a \boldsymbol{x} + a \boldsymbol{y}

実ベクトル空間

数ベクトル空間 (英：real vector space) とは、要素が実数のベクトル全体の集合のこと。ベクトルが nn 個の実数を持つとき、その集合を nn 次元実ベクトル空間 (英：nn-dimensional real vector space) と呼ぶ。

x={[x1⋮xn]∣x1,…,xn∈R}(x∈Rn) \boldsymbol{x} = \left\lbrace \left.\begin{bmatrix} x_1 \cr \vdots \cr x_n \end{bmatrix}\right| x_1,\ldots,x_n\in\R \right\rbrace \quad (\boldsymbol{x}\in\R^n)

複素ベクトル空間

複素ベクトル空間 (英：complex vector space) とは、要素が複素数のベクトル全体の集合のこと。ベクトルが nn 個の複素数を持つとき、その集合を nn 次元複素ベクトル空間 (英：nn-dimensional complex vector space) と呼ぶ。

z={[z1⋮zn]∣z1,…,zn∈C}(z∈Cn) \boldsymbol{z} = \left\lbrace \left.\begin{bmatrix} z_1 \cr \vdots \cr z_n \end{bmatrix}\right| z_1,\ldots,z_n\in\Complex \right\rbrace \quad (\boldsymbol{z}\in\Complex^n)

ベクトルの演算

ベクトルの加減算：

x±y=[x1±y1x2±y2⋮xn±yn] \def\b{\boldsymbol} \b x \pm \b y = \begin{bmatrix} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ \vdots \\ x_n \pm y_n \\ \end{bmatrix}


ベクトルの内積：

⟨x,y⟩=∑i=1nxiyi \def\b{\boldsymbol} \lang\b x,\b y\rang = \sum_{i=1}^n x_i y_i


ベクトルのスカラー倍：

cx=[cx1cx2⋮cxn] \def\b{\boldsymbol} c\b x = \begin{bmatrix} cx_1 \\ cx_2 \\ \vdots \\ cx_n \\ \end{bmatrix}

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